南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta} d \theta$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入对称积分
设原积分为 \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta \)，并引入辅助积分 \( J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta \)。
公式：I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta, \quad J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta
提示：注意分母相同，分子分别为余弦和正弦，便于后续相加和变量替换。
步骤 2/5
目标：计算 I+J
将 I 和 J 相加，分子合并为 \( \cos \theta + \sin \theta \)，与分母相同，被积函数化为 1，因此 \( I + J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = \frac{\pi}{2} \)。
公式：I + J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = \frac{\pi}{2}
提示：这一步直接利用分母相同，分子相加即可，无需复杂计算。
步骤 3/5
目标：利用变量替换证明 I=J
在 I 中作变量替换 \( u = \frac{\pi}{2} - \theta \)，则 \( d\theta = -du \)，积分限变为 \( u \) 从 \( \frac{\pi}{2} \) 到 0。代入得：
\[
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - u)}{\cos(\frac{\pi}{2} - u) + \sin(\frac{\pi}{2} - u)} (-du) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin u}{\sin u + \cos u} du = J.
\]
因此 \( I = J \)。
公式：\cos(\frac{\pi}{2} - u) = \sin u, \quad \sin(\frac{\pi}{2} - u) = \cos u
提示：注意积分限变换时负号的处理，以及三角恒等式的正确使用。
步骤 4/5
目标：联立方程求解 I
由 \( I + J = \frac{\pi}{2} \) 和 \( I = J \)，代入得 \( 2I = \frac{\pi}{2} \)，解得 \( I = \frac{\pi}{4} \)。
公式：2I = \frac{\pi}{2} \Rightarrow I = \frac{\pi}{4}
提示：注意不要遗漏系数，直接解一元一次方程即可。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
原积分的值为 \( \frac{\pi}{4} \)。
公式：\boxed{\frac{\pi}{4}}
提示：最终答案需用方框或括号突出显示。
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