南京师范大学 2021年数学分析第0题

设任意方向由单位向量 $\mathbf{l}=(\cos\theta,\sin\theta)$ 给出。方向导数的定义为： $$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-f(0,0)}{t} $$ 由于 $f(0,0)=0$，且当 $t\neq0$ 时，代入函数表达式： $$ f(t\cos\theta,t\sin\theta)=\frac{(t\cos\theta)^2 (t\sin\theta)}{(t\cos\theta)^4+(t\sin\theta)^2} = \frac{t^3\cos^2\theta\sin\theta}{t^4\cos^4\theta + t^2\sin^2\theta} $$ 分子分母同时提取 $t^2$： $$ = \frac{t^3\cos^2\theta\sin\theta}{t^2(t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta)} = \frac{t\cos^2\theta\sin\theta}{t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta} $$ 于是方向导数为： $$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0)=\lim_{t\to 0} \frac{t\cos^2\theta\sin\theta}{t(t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta)} = \lim_{t\to 0} \frac{\cos^2\theta\sin\theta}{t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta} $$

对极限 $\lim_{t\to 0} \frac{\cos^2\theta\sin\theta}{t^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}$ 分情况： - 若 $\sin\theta=0$，即方向沿 $x$ 轴，分子为0，极限为0。 - 若 $\sin\theta\neq0$，则分母极限为 $\sin^2\theta>0$，所以极限为： $$ \frac{\cos^2\theta\sin\theta}{\sin^2\theta}=\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta} $$ 因此，对任意方向，极限都存在且有限，故任意方向的方向导数都存在。

由偏导数定义： $$ f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0 $$ $$ f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-0}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{0}{h}=0 $$ 所以 $f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。

如果函数在原点可微，则应有： $$ f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y = o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) $$ 代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$，得： $$ f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \quad \text{当 } (x,y)\to(0,0) $$ 即要求： $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$

取路径 $y=x^2$，则当 $x\to 0$ 时： $$ f(x,x^2)=\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac{x^4}{2x^4}=\frac12 $$ 分母 $\sqrt{x^2+x^4} \sim |x|$，因此： $$ \frac{f(x,x^2)}{\sqrt{x^2+x^4}} \sim \frac{1/2}{|x|} \to \infty $$ 极限不是0，故函数在原点不可微。

当 $x\to 0$ 时，$\frac{1}{2|x|\sqrt{1+x^2}}\to +\infty$，极限不为 0。因此不满足可微条件，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

由以上推导可得： (1) 对任意方向 $\mathbf{l}=(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数都存在，且表达式为分段形式。 (2) 由于沿曲线 $y=x^2$ 趋近原点时，差商 $\frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}$ 不趋于0，故函数在原点处不可微。