南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
三、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0} ; \delta_{1}\right)$ 内二阶连续可微，记 $\displaystyle I(\delta)=\frac{1}{2 \delta} \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} f(x) d x, 0<\delta<\delta_{1}$
（1）证明： $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I(\delta)=f\left(x_{0}\right)$ ；
（2）假设 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ．求 $\displaystyle I(\delta)-f\left(x_{0}\right)$ 当 $\displaystyle \delta \rightarrow 0^{+}$时的主要部分．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明极限存在且等于f(x0)
由积分中值定理，存在 $\xi_\delta \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$，使得 $\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x) dx = 2\delta f(\xi_\delta)$，因此 $I(\delta) = f(\xi_\delta)$。当 $\delta \to 0^+$ 时，$\xi_\delta \to x_0$，由 $f$ 的连续性得 $\lim_{\delta \to 0^+} I(\delta) = f(x_0)$。
公式：I(\delta) = \frac{1}{2\delta} \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x) dx = f(\xi_\delta)
提示：注意积分中值定理要求函数连续，题目中二阶连续可微保证了连续性。
步骤 2/4
目标：对f(x)在x0处进行泰勒展开
由于 $f$ 二阶连续可微，在 $x_0$ 处展开到二阶带 Peano 余项：$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$。
公式：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)
提示：展开到二阶是因为需要求主要部分，且 $f''(x_0) \neq 0$ 保证二阶项非零。
步骤 3/4
目标：逐项积分泰勒展开式
将展开式代入积分：$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x_0) dx = 2\delta f(x_0)$；$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f'(x_0)(x-x_0) dx = 0$（奇函数对称区间）；$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \frac{1}{2} f''(x_0)(x-x_0)^2 dx = \frac{1}{2} f''(x_0) \cdot \frac{2\delta^3}{3} = \frac{f''(x_0)}{3} \delta^3$；余项积分得 $o(\delta^3)$。
公式：\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x) dx = 2\delta f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{3} \delta^3 + o(\delta^3)
提示：计算 $\int_{-\delta}^{\delta} t^2 dt = \frac{2\delta^3}{3}$，注意系数不要遗漏。
步骤 4/4
目标：计算I(δ)并求出主要部分
由 $I(\delta) = \frac{1}{2\delta} \left( 2\delta f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{3} \delta^3 + o(\delta^3) \right) = f(x_0) + \frac{f''(x_0)}{6} \delta^2 + o(\delta^2)$，因此 $I(\delta) - f(x_0) \sim \frac{f''(x_0)}{6} \delta^2$（$\delta \to 0^+$）。
公式：I(\delta) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{6} \delta^2 + o(\delta^2)
提示：主要部分是指当 $\delta \to 0$ 时起主导作用的项，这里 $\delta^2$ 项非零，且系数为 $f''(x_0)/6$。
步骤 5/5
目标：确定主要部分
当 $f''(x_0) \neq 0$ 时，$I(\delta) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{6} \delta^2 + o(\delta^2)$，因此主要部分为 $\frac{f''(x_0)}{6} \delta^2$。
公式：I(\delta) - f(x_0) \sim \frac{f''(x_0)}{6} \delta^2 \quad (\delta \to 0^+)
提示：主要部分指最低阶非零项，这里 $\delta^2$ 项系数由二阶导数决定。
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