南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
九、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ，其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。（15分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲线与方向
曲线 $L$ 由平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 相交得到。从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向，这对应于右手法则下曲面上侧法向量指向 $z$ 轴正向。
公式：L: \begin{cases} x+y+z=2 \\ |x|+|y|=1 \end{cases}
提示：注意方向与法向量的匹配，逆时针方向对应法向量朝上（与 $z$ 轴正向夹角小于 $90^\circ$）。
步骤 2/6
目标：应用斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
设 $\mathbf{F} = (P, Q, R) = (y^2 - z^2, 2z^2 - x^2, 3x^2 - y^2)$，由斯托克斯公式：
$$\oint_L P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$$
其中 $S$ 是平面 $x+y+z=2$ 上以 $L$ 为边界的部分。
公式：\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS
提示：斯托克斯公式要求曲面 $S$ 以 $L$ 为边界且方向一致，这里取平面上的区域自然满足。
步骤 3/6
目标：计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$
计算旋度各分量：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^2 - z^2 & 2z^2 - x^2 & 3x^2 - y^2 \end{vmatrix}$$
第一分量：$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2 - y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2z^2 - x^2) = -2y - 4z$
第二分量：$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(y^2 - z^2) - \frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - y^2) = -2z - 6x$
第三分量：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2z^2 - x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2 - z^2) = -2x - 2y$
因此
$$\nabla \times \mathbf{F} = (-2y - 4z, \; -2z - 6x, \; -2x - 2y)$$
公式：\nabla \times \mathbf{F} = (-2y-4z, -2z-6x, -2x-2y)
提示：旋度计算要仔细，注意偏导顺序和符号，避免混淆。
步骤 4/6
目标：确定曲面法向量并计算被积函数
平面 $x+y+z=2$ 的法向量为 $(1,1,1)$，单位法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$。从 $z$ 轴正向看逆时针，法向量应指向上方，$(1,1,1)$ 的 $z$ 分量为正，符合要求。
计算点积：
$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}[(-2y-4z) + (-2z-6x) + (-2x-2y)] = \frac{1}{\sqrt{3}}(-8x - 4y - 6z)$$
利用平面方程 $z = 2 - x - y$ 代入：
$$-8x - 4y - 6(2 - x - y) = -8x - 4y - 12 + 6x + 6y = -2x + 2y - 12$$
所以
$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x + 2y - 12)$$
公式：(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-2x + 2y - 12)
提示：法向量方向要与曲线方向匹配，否则结果会差一个负号。
步骤 5/6
目标：将曲面积分转化为 $xy$ 平面上的二重积分
面积元 $dS$ 与投影面积元 $dx\,dy$ 的关系：平面法向量 $(1,1,1)$ 与 $z$ 轴夹角余弦为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，故
$$dS = \frac{dx\,dy}{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}|} = \sqrt{3}\,dx\,dy$$
因此
$$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n}\, dS = (-2x + 2y - 12)\,dx\,dy$$
积分区域为 $L$ 在 $xy$ 平面上的投影：$|x| + |y| \le 1$（菱形）。
公式：dS = \sqrt{3}\,dx\,dy, \quad \iint_S f\,dS = \iint_{|x|+|y|\le 1} (-2x+2y-12)\,dx\,dy
提示：投影面积元公式 $dS = \frac{dx\,dy}{|\cos\gamma|}$，其中 $\gamma$ 是法向量与 $z$ 轴夹角。
步骤 6/6
目标：计算二重积分
$$I = \iint_{|x|+|y|\le 1} (-2x + 2y - 12)\,dx\,dy$$
由对称性，$\iint -2x\,dx\,dy = 0$（$x$ 奇函数，区域关于 $y$ 轴对称），$\iint 2y\,dx\,dy = 0$（$y$ 奇函数，区域关于 $x$ 轴对称）。
因此
$$I = \iint_{|x|+|y|\le 1} (-12)\,dx\,dy = -12 \times \text{区域面积}$$
菱形 $|x|+|y|\le 1$ 的面积为 $2$（可看作四个直角边为 $1$ 的等腰直角三角形，总面积 $4 \times \frac{1}{2} = 2$）。
故
$$I = -12 \times 2 = -24$$
公式：I = -12 \times \text{Area}(|x|+|y|\le 1) = -12 \times 2 = -24
提示：利用对称性简化积分，注意奇函数在对称区域上的积分为零。菱形面积也可用对角线乘积的一半计算：$\frac{2 \times 2}{2} = 2$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
由斯托克斯公式，原曲线积分等于上述二重积分的结果：
$$
I = -24
$$
因此，曲线积分的值为 $-24$。
提示：最终答案要加上负号，检查方向是否正确。
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