南京师范大学 2021年数学分析第0题

设 $[a,b] \subset I$，对任意 $x \in [a,b]$，存在唯一的 $\lambda \in [0,1]$ 使得 $x = \lambda a + (1-\lambda) b$。由凸函数定义：$f(x) \leq \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b) \leq \max\{f(a), f(b)\}$。因此取 $M = \max\{f(a), f(b)\}$ 即为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个上界。

取中点 $c = \frac{a+b}{2}$。对任意 $x \in [a,b]$，分两种情况讨论： - 若 $x \in [a,c]$，则存在 $t = \frac{c-a}{x-a} \in [\frac12, 1]$ 使得 $c = t x + (1-t) a$。由凸性：$f(c) \leq t f(x) + (1-t) f(a)$，整理得 $f(x) \geq \frac{f(c) - (1-t) f(a)}{t}$。由于 $t \geq \frac12$，分母有正下界，右边为有限数。 - 若 $x \in [c,b]$，类似地，存在 $s = \frac{b-c}{b-x} \in [\frac12, 1]$ 使得 $c = s x + (1-s) b$，可得 $f(x) \geq \frac{f(c) - (1-s) f(b)}{s}$。 综合两种情况，取 $m = \min\left\{ \frac{f(c) - (1-\frac12) f(a)}{\frac12}, \frac{f(c) - (1-\frac12) f(b)}{\frac12} \right\}$ 即为一致下界。

由以上两步，对任意闭子区间 $[a,b] \subset I$，$f$ 既有上界 $M$ 又有下界 $m$，因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

取 $I = (0,1)$，定义 $f(x) = \frac{1}{x}$。计算二阶导数：$f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0$ 对 $x \in (0,1)$ 成立，故 $f$ 是严格凸函数。但当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to +\infty$，因此在 $(0,1)$ 上无上界，从而无界。另一个经典例子是 $f(x) = -\ln x$ 在 $(0,1)$ 上也是凸且无界。

考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，定义在开区间 $I = (0,1)$ 上。$f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0$，故 $f$ 在 $(0,1)$ 上是凸函数。但当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to +\infty$，因此 $f$ 在 $(0,1)$ 上无上界，从而无界。这说明凸函数在开区间上不一定有界。