南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
五、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}(a>0)$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将级数转化为交错级数形式，并定义通项
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{a}{1+a^{n}}$，其中 $a>0$。令 $b_n = \frac{a}{n(1+a^n)} > 0$，则原级数可写为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n$，这是一个交错级数。
公式：$b_n = \frac{a}{n(1+a^n)}$
提示：注意 $b_n$ 恒正，这是应用莱布尼茨判别法的前提。
步骤 2/5
目标：讨论 a > 1 时的敛散性
当 $a > 1$ 时，$n$ 充分大时 $a^n \to \infty$，于是 $\frac{a}{1+a^n} \sim \frac{a}{a^n} = a^{1-n}$，从而 $b_n \sim \frac{a^{1-n}}{n}$。比较判别法：$\sum b_n$ 与收敛的几何级数 $\sum a^{1-n}$ 比较，可知 $\sum b_n$ 收敛，因此原级数绝对收敛。
公式：$b_n \sim \frac{a^{1-n}}{n}$，$\sum a^{1-n}$ 收敛
提示：指数衰减主导，$1/n$ 因子不影响收敛性。
步骤 3/5
目标：讨论 a = 1 时的敛散性
当 $a = 1$ 时，$\frac{a}{1+a^n} = \frac{1}{2}$，级数化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{2n}$。这是交错调和级数乘以常数 $1/2$，由莱布尼茨判别法知其收敛，但绝对值级数 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散，故原级数条件收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{2n}$
提示：交错调和级数是条件收敛的经典例子。
步骤 4/5
目标：讨论 0 < a < 1 时的敛散性
当 $0 < a < 1$ 时，$n$ 充分大时 $a^n \to 0$，于是 $\frac{a}{1+a^n} \to a$，从而 $b_n \sim \frac{a}{n}$，绝对值级数 $\sum b_n$ 发散（类似调和级数）。但 $b_n$ 单调递减趋于 0（因为 $n$ 增大且 $a^n$ 减小，分母增大），由莱布尼茨判别法知交错级数收敛，故原级数条件收敛。
公式：$b_n \sim \frac{a}{n}$，$b_n \searrow 0$
提示：需验证 $b_n$ 的单调性：$b_{n+1} < b_n$ 对充分大的 $n$ 成立。
步骤 5/5
目标：综合结论
综上所述：
- 当 $a > 1$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $0 < a \le 1$ 时，级数条件收敛。
公式：无
提示：注意 $a=1$ 属于条件收敛，不要遗漏。
步骤 6/7
目标：讨论条件收敛性：应用莱布尼茨判别法
当 $0
公式：$b_n \downarrow 0$
提示：莱布尼茨判别法要求 $b_n$ 单调递减趋于0，这里 $0
步骤 7/7
目标：总结敛散性结论
综合以上讨论：当 $a>1$ 时，级数绝对收敛；当 $0
公式：无
提示：注意 $a=1$ 也属于条件收敛，因为 $b_n=1/(2n)$ 递减趋于0。
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