南京师范大学 2021年数学分析第0题

已知函数 $f$ 在开区域 $D$ 上一致连续，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in D$，当 $\|x - y\| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。此外，$D$ 是有界开区域，其边界 $\partial D$ 是紧集（有界闭集）。

取任意边界点 $P \in \partial D$。由于 $P$ 是边界点，存在 $D$ 中的点列 $\{x_n\}$ 使得 $x_n \to P$。因为 $\{x_n\}$ 是柯西列，由一致连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $m, n$ 充分大时，$\|x_m - x_n\| < \delta$，从而 $|f(x_m) - f(x_n)| < \varepsilon$。因此 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列，由实数完备性知其收敛。

设另有一点列 $\{y_n\} \subset D$ 也收敛到 $P$。构造混合序列 $z_n$：$z_{2k-1} = x_k, z_{2k} = y_k$，则 $z_n \to P$。由前一步，$\{f(z_n)\}$ 是柯西列，故其子列 $\{f(x_n)\}$ 和 $\{f(y_n)\}$ 收敛到同一极限。因此可定义 $\tilde{f}(P) = \lim_{x \to P, x \in D} f(x)$。

对任意 $\varepsilon > 0$，由一致连续性存在 $\delta > 0$。对任意两点 $p, q \in \overline{D}$ 满足 $\|p - q\| < \delta/2$，分别取 $D$ 内的点 $p', q'$ 充分靠近 $p, q$，使得 $\|p - p'\| < \delta/2$，$\|q - q'\| < \delta/2$，且 $|\tilde{f}(p) - f(p')| < \varepsilon/3$，$|\tilde{f}(q) - f(q')| < \varepsilon/3$。由三角不等式得 $|\tilde{f}(p) - \tilde{f}(q)| < \varepsilon$。故 $\tilde{f}$ 在 $\overline{D}$ 上一致连续，从而连续。

由前一步，$f$ 可连续延拓到闭包 $\overline{D}$ 上。由于 $D$ 有界，$\overline{D}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界闭集，从而是紧集。连续函数在紧集上必有界，因此延拓后的函数 $\tilde{f}$ 在 $\overline{D}$ 上有界，特别地，$f$ 在 $D$ 上有界。

由一致连续性，取 $\varepsilon = 1$，存在 $\delta > 0$，使得当 $\|x - y\| < \delta$ 时，$|f(x) - f(y)| < 1$。由于 $D$ 有界，可用有限个直径为 $\delta$ 的开球覆盖 $D$。在每个开球内，函数值变化不超过 1，取一个参考点，则函数值被限制在某个区间内，从而整体有界。