南京师范大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且有
$$
f(0)=f(1)=0, \min _{x \in[0,1]} f(x)=-1 .
$$
证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1), \ni f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．（15 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件，确定极值点
函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，在 $[0,1]$ 上最小值为 $-1$，因此存在 $x_0 \in (0,1)$ 使得 $f(x_0) = -1$。由于 $x_0$ 是极小值点，由费马引理知 $f'(x_0) = 0$。
公式：$f(x_0) = -1,\ f'(x_0) = 0$
提示：注意最小值点一定在开区间内部，因为端点函数值为0，大于-1。
步骤 2/5
目标：在极值点处对端点进行泰勒展开
对 $f(0)$ 在 $x_0$ 处展开：
$$f(0) = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(0 - x_0)^2,$$
其中 $\xi_1$ 介于 $0$ 与 $x_0$ 之间。代入 $f(0)=0,\ f(x_0)=-1,\ f'(x_0)=0$ 得：
$$0 = -1 + \frac{f''(\xi_1)}{2} x_0^2 \Rightarrow f''(\xi_1) = \frac{2}{x_0^2}.$$
公式：$f''(\xi_1) = \frac{2}{x_0^2}$
提示：注意展开点选在极值点，一阶导数为零，简化了表达式。
步骤 3/5
目标：对另一个端点进行泰勒展开
对 $f(1)$ 在 $x_0$ 处展开：
$$f(1) = f(x_0) + f'(x_0)(1 - x_0) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(1 - x_0)^2,$$
其中 $\xi_2$ 介于 $x_0$ 与 $1$ 之间。代入 $f(1)=0,\ f(x_0)=-1,\ f'(x_0)=0$ 得：
$$0 = -1 + \frac{f''(\xi_2)}{2} (1 - x_0)^2 \Rightarrow f''(\xi_2) = \frac{2}{(1 - x_0)^2}.$$
公式：$f''(\xi_2) = \frac{2}{(1 - x_0)^2}$
提示：两个展开式分别得到两个不同的中间点处的二阶导数表达式。
步骤 4/5
目标：分析 $x_0$ 的位置，确定不等式方向
由于 $x_0 \in (0,1)$，$x_0$ 与 $1-x_0$ 中必有一个 $\le \frac12$，另一个 $\ge \frac12$。
- 若 $x_0 \le \frac12$，则 $x_0^2 \le \frac14$，从而 $f''(\xi_1) = \frac{2}{x_0^2} \ge \frac{2}{1/4} = 8$。
- 若 $x_0 \ge \frac12$，则 $(1-x_0)^2 \le \frac14$，从而 $f''(\xi_2) = \frac{2}{(1-x_0)^2} \ge 8$。
公式：$\frac{2}{x_0^2} \ge 8$ 或 $\frac{2}{(1-x_0)^2} \ge 8$
提示：注意分母越小，分式值越大；不要混淆大小关系。
步骤 5/5
目标：得出结论
无论 $x_0$ 在 $(0,1)$ 中的哪一侧，总存在一个 $\xi$（$\xi_1$ 或 $\xi_2$）使得 $f''(\xi) \ge 8$。因此命题得证。
公式：$\exists \xi \in (0,1),\ f''(\xi) \ge 8$
提示：证明的关键是利用极值点将端点函数值展开，并利用 $x_0$ 与 $1-x_0$ 的对称性。
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