南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
一．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-e^{x}+x^{2}}{\arcsin x-\sin x}$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2023} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断极限形式，初步展开分子和分母
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{1+2x} - e^x + x^2$ 和分母 $\arcsin x - \sin x$ 均趋于 $0$，是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。先对分子进行泰勒展开：$\sqrt{1+2x} = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{8}x^4 + O(x^5)$，$e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^5)$。
公式：$\sqrt{1+2x} = 1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{8}x^4 + O(x^5)$，$e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^5)$
提示：注意展开到足够高阶，因为一次项和二次项可能会抵消，需要至少展开到三次项。
步骤 2/6
目标：精确计算分子的泰勒展开
将分子各项展开代入并合并：$(1 + x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{8}x^4) - (1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4) + x^2$。常数项和一次项抵消；二次项：$-\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^2 + x^2 = 0$；三次项：$\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}x^3 = \frac{1}{3}x^3$；四次项：$-\frac{5}{8}x^4 - \frac{1}{24}x^4 = -\frac{16}{24}x^4 = -\frac{2}{3}x^4$。故分子 $= \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^4 + O(x^5)$。
公式：$\sqrt{1+2x} - e^x + x^2 = \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^4 + O(x^5)$
提示：合并同类项时需细心，确保每一项系数正确，尤其是二次项完全抵消后需关注更高阶项。
步骤 3/6
目标：计算分母的泰勒展开
对分母 $\arcsin x - \sin x$ 展开：$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + O(x^7)$，$\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 + O(x^7)$。相减得：$(x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots) - (x - \frac{1}{6}x^3 + \cdots) = \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
公式：$\arcsin x - \sin x = \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$
提示：分母的最低阶项也是 $x^3$，与分子同阶，因此极限存在且有限。
步骤 4/6
目标：求极限值
将分子和分母的展开代入极限表达式：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^4 + O(x^5)}{\frac{1}{3}x^3 + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} - \frac{2}{3}x + O(x^2)}{\frac{1}{3} + O(x^2)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = 1$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + \cdots}{\frac{1}{3}x^3 + \cdots} = 1$
提示：分子分母同除以 $x^3$ 后，高阶项趋于0，直接得到极限为1。
步骤 5/6
目标：利用变量代换处理积分对称性
令 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^{2023} x} \, dx$。作代换 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$，交换上下限得 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan^{2023}(\frac{\pi}{2} - t)} \, dt$。利用 $\tan(\frac{\pi}{2} - t) = \cot t = \frac{1}{\tan t}$，故 $\tan^{2023}(\frac{\pi}{2} - t) = \frac{1}{\tan^{2023} t}$，于是 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \frac{1}{\tan^{2023} t}} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan^{2023} t}{1 + \tan^{2023} t} \, dt$。
公式：$\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x = \frac{1}{\tan x}$
提示：注意代换后积分变量名称可换回 $x$，不影响结果。
步骤 6/6
目标：相加求积分值
将原积分 $I$ 与变换后的积分相加：$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{1+\tan^{2023}x} + \frac{\tan^{2023}x}{1+\tan^{2023}x} \right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$。因此 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\frac{1}{1+\tan^{2023}x} + \frac{\tan^{2023}x}{1+\tan^{2023}x} = 1$
提示：此技巧适用于形如 $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan^n x} dx$ 的积分，结果恒为 $\frac{\pi}{4}$，与指数 $n$ 无关。
步骤 7/8
目标：相加求积分
将原积分 $I$ 与变换后的积分相加：
$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{1+\tan^{2023} x} + \frac{\tan^{2023} x}{1+\tan^{2023} x} \right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$$
因此 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\frac{a}{1+a} + \frac{1}{1+a} = 1$
提示：注意两个积分相加后分子分母恰好和为1，这是关键技巧。
步骤 8/8
目标：第二题答案
积分值为 $\frac{\pi}{4}$。
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