南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七．设 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=3 a_{n}-a_{n-1}(n=2,3, \cdots)$ ，记 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{a_{n}}$ ，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确递推关系并修正题目中的下标问题
原题递推式为 $a_{n+2}=3a_n-a_{n-1}$，但仅给出 $a_1=1,a_2=2$ 无法确定 $a_3$。常见题型中，此类递推应为 $a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$，故按此修正。于是有：$a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n\ (n\ge 1)$。
公式：$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$
提示：注意递推式的下标对齐，避免因初始条件不足导致无法求解。
步骤 2/4
目标：求解数列 $a_n$ 的通项公式
特征方程为 $r^2-3r+1=0$，解得 $r=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$。记 $\alpha=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，则通解 $a_n=C_1\alpha^{n-1}+C_2\beta^{n-1}$。代入 $a_1=1,\ a_2=2$ 得：
$C_1+C_2=1$，$C_1\alpha+C_2\beta=2$。
解得 $C_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}},\ C_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}$。
故 $a_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\alpha^{n-1}+\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\beta^{n-1}$。
公式：$a_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\alpha^{n-1} + \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}\beta^{n-1}$
提示：注意特征根的大小关系：$\alpha>1,\ 0<\beta<1$，这对后续极限判断至关重要。
步骤 3/4
目标：证明数列 $\{x_n\}$ 收敛并求极限
由于 $\alpha>1$，当 $n\to\infty$ 时 $\alpha^{n-1}\to\infty$，而 $\beta^{n-1}\to 0$，故 $a_n\sim\frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\alpha^{n-1}\to\infty$。因此 $x_n=\frac{1}{a_n}\to 0$。数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $0$。
公式：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
提示：不要忽略 $\beta^{n-1}$ 的衰减性，但主要项决定极限。
步骤 4/4
目标：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ 的收敛性
当 $n$ 充分大时，$x_n\sim \frac{2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\alpha^{n-1}}$。由于 $\alpha>1$，公比 $\frac{1}{\alpha}<1$，故该等比级数收敛。由比较判别法，原级数 $\sum x_n$ 收敛。
公式：$x_n\sim \frac{2\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\alpha^{n-1}}$
提示：使用比较判别法时，注意等价无穷小量的选取，确保公比小于1。
步骤 5/5
目标：汇总结论
数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $0$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ 收敛。
公式：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$，$\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ 收敛
提示：注意区分数列极限与级数敛散性的概念，两者结论不同但相关。
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