南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\left|\begin{array}{ccc}
f(a) & g(a) & h(a) \\
f(b) & g(b) & h(b) \\
f^{\prime}(\xi) & g^{\prime}(\xi) & h^{\prime}(\xi)
\end{array}\right|=0
$$
并由此推出柯西中值定理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
定义函数 $F(x) = \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f(x) & g(x) & h(x) \end{vmatrix}$。由于 $f,g,h$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，$F(x)$ 也在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导。
公式：$F(x) = \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f(x) & g(x) & h(x) \end{vmatrix}$
提示：注意行列式前两行是常数，第三行是变量，因此 $F(x)$ 的可导性由 $f,g,h$ 的可导性保证。
步骤 2/4
目标：检查端点值，应用罗尔定理
计算 $F(a)$：第一行与第三行相同，行列式为0；计算 $F(b)$：第二行与第三行相同，行列式为0。故 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi)=0$。
公式：$F(a)=0,\quad F(b)=0$
提示：行列式两行相等时值为0，这是行列式的基本性质。
步骤 3/4
目标：计算导数并得到结论
对 $F(x)$ 求导，只有第三行依赖于 $x$，因此 $F'(x) = \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \end{vmatrix}$。由 $F'(\xi)=0$ 得 $\begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f'(\xi) & g'(\xi) & h'(\xi) \end{vmatrix}=0$。
公式：$F'(x) = \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f'(x) & g'(x) & h'(x) \end{vmatrix}$
提示：行列式求导时，只有变量行参与求导，其余行视为常数。
步骤 4/4
目标：取特殊函数推出柯西中值定理
令 $h(x) \equiv 1$，则行列式变为 $\begin{vmatrix} f(a) & g(a) & 1 \\ f(b) & g(b) & 1 \\ f'(\xi) & g'(\xi) & 0 \end{vmatrix}=0$。按第三列展开：$1 \cdot (f(b)g'(\xi)-g(b)f'(\xi)) - 1 \cdot (f(a)g'(\xi)-g(a)f'(\xi)) = 0$，化简得 $(f(b)-f(a))g'(\xi) = (g(b)-g(a))f'(\xi)$。若 $g(b)\neq g(a)$ 且 $g'(\xi)\neq 0$，则 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
公式：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
提示：按第三列展开时注意代数余子式的符号：$(-1)^{1+3}=1$，$(-1)^{2+3}=-1$。
步骤 5/6
目标：特殊化 h(x) 以推导柯西中值定理
取 \( h(x) \equiv 1 \)（常数函数），则 \( h'(x) = 0 \)。此时行列式变为 \( \begin{vmatrix} f(a) & g(a) & 1 \\ f(b) & g(b) & 1 \\ f'(\xi) & g'(\xi) & 0 \end{vmatrix} = 0 \)。按第三列展开：\( (-1)^{1+3} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} f(b) & g(b) \\ f'(\xi) & g'(\xi) \end{vmatrix} + (-1)^{2+3} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} f(a) & g(a) \\ f'(\xi) & g'(\xi) \end{vmatrix} = 0 \)，即 \( f(b)g'(\xi) - g(b)f'(\xi) - [f(a)g'(\xi) - g(a)f'(\xi)] = 0 \)。
公式：\begin{vmatrix} f(a) & g(a) & 1 \\ f(b) & g(b) & 1 \\ f'(\xi) & g'(\xi) & 0 \end{vmatrix} = 0
提示：按第三列展开时注意代数余子式的符号：\( (-1)^{i+j} \)，第三列元素为 \( 1, 1, 0 \)。
步骤 6/6
目标：整理得到柯西中值定理的标准形式
由上式整理得 \( [f(b)-f(a)] g'(\xi) - [g(b)-g(a)] f'(\xi) = 0 \)。在柯西中值定理的条件下（\( g(b) \neq g(a) \) 且 \( g'(\xi) \neq 0 \)），移项即得 \( \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)。
公式：\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
提示：柯西中值定理要求分母不为零，即 \( g(b) \neq g(a) \) 且 \( g'(\xi) \neq 0 \)，这是定理成立的前提条件。
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