南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九．设方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y^{2}=u ; \\ y+z^{2}=v ; \\ z+x^{2}=w .\end{array}\right.$ 确定了 $\displaystyle x, y, z$ 为 $\displaystyle u, v, w$ 的函数，求 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对方程组两边同时对 u 求一阶偏导
将方程组中每个方程对 u 求偏导，注意 v 和 w 与 u 独立，故 ∂v/∂u = 0，∂w/∂u = 0。得到：
(1) ∂x/∂u + 2y·∂y/∂u = 1；
(2) ∂y/∂u + 2z·∂z/∂u = 0；
(3) ∂z/∂u + 2x·∂x/∂u = 0。
公式：\frac{\partial x}{\partial u} + 2y \frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial u} + 2z \frac{\partial z}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial z}{\partial u} + 2x \frac{\partial x}{\partial u} = 0
提示：注意隐函数求导时，x、y、z 都是 u 的函数，必须使用链式法则；v、w 视为常数。
步骤 2/4
目标：解线性方程组求一阶偏导 ∂x/∂u，∂y/∂u，∂z/∂u
记 X = ∂x/∂u，Y = ∂y/∂u，Z = ∂z/∂u。由 (3) 得 Z = -2xX；代入 (2) 得 Y - 4xzX = 0，即 Y = 4xzX；再代入 (1) 得 X + 2y·4xzX = 1，即 X(1 + 8xyz) = 1。解得 X = 1/(1+8xyz)，进而 Y = 4xz/(1+8xyz)，Z = -2x/(1+8xyz)。
公式：\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{1+8xyz}, \quad \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{4xz}{1+8xyz}, \quad \frac{\partial z}{\partial u} = -\frac{2x}{1+8xyz}
提示：解线性方程组时，注意代入顺序，避免符号错误；分母 1+8xyz 不能为零。
步骤 3/4
目标：对 ∂x/∂u 再求一次偏导得到 ∂²x/∂u²
由 ∂x/∂u = (1+8xyz)^{-1}，对 u 求导得 ∂²x/∂u² = - (1+8xyz)^{-2} · 8 · ∂(xyz)/∂u。其中 ∂(xyz)/∂u = yz·∂x/∂u + xz·∂y/∂u + xy·∂z/∂u。代入一阶偏导结果：yz·1/(1+8xyz) + xz·4xz/(1+8xyz) + xy·(-2x/(1+8xyz)) = (yz + 4x²z² - 2x²y)/(1+8xyz)。因此 ∂²x/∂u² = -8/(1+8xyz)² · (yz + 4x²z² - 2x²y)/(1+8xyz) = -8(yz + 4x²z² - 2x²y)/(1+8xyz)³。
公式：\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{8(yz + 4x^2z^2 - 2x^2y)}{(1+8xyz)^3}
提示：求二阶导时，注意对乘积的导数要使用乘法法则，且分母的幂次增加1。
步骤 4/4
目标：整理最终结果并给出答案
将一阶和二阶偏导结果整理为最简形式，注意分子可写成对称形式：yz - 2x²y + 4x²z²。最终答案如下：
∂x/∂u = 1/(1+8xyz)；
∂y/∂u = 4xz/(1+8xyz)；
∂z/∂u = -2x/(1+8xyz)；
∂²x/∂u² = -8(yz - 2x²y + 4x²z²)/(1+8xyz)³。
公式：\boxed{\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{1+8xyz}}, \quad \boxed{\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{4xz}{1+8xyz}}, \quad \boxed{\frac{\partial z}{\partial u} = -\frac{2x}{1+8xyz}}, \quad \boxed{\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{8(yz - 2x^2y + 4x^2z^2)}{(1+8xyz)^3}}
提示：最终答案中，分母 (1+8xyz)³ 不可约分，分子注意符号和顺序。
步骤 5/6
目标：对 ∂x/∂u 再次关于 u 求偏导，得到二阶偏导表达式
已知 $\frac{\partial x}{\partial u} = (1+8xyz)^{-1}$，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = - (1+8xyz)^{-2} \cdot 8 \cdot \frac{\partial (xyz)}{\partial u}$。而 $\frac{\partial (xyz)}{\partial u} = yz \frac{\partial x}{\partial u} + xz \frac{\partial y}{\partial u} + xy \frac{\partial z}{\partial u}$。代入一阶偏导：$= yz \cdot \frac{1}{1+8xyz} + xz \cdot \frac{4xz}{1+8xyz} + xy \cdot \left(-\frac{2x}{1+8xyz}\right) = \frac{yz + 4x^2 z^2 - 2x^2 y}{1+8xyz}$。
公式：\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{8}{(1+8xyz)^2} \cdot \frac{yz + 4x^2 z^2 - 2x^2 y}{1+8xyz}
提示：注意对乘积求导时，每一项都要正确使用链式法则。
步骤 6/6
目标：化简二阶偏导的最终形式
合并分母得 $\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{8(yz + 4x^2 z^2 - 2x^2 y)}{(1+8xyz)^3}$。
公式：\frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} = -\frac{8(yz + 4x^{2}z^{2} - 2x^{2}y)}{(1+8xyz)^{3}}
提示：最终结果分母为三次方，注意检查符号。
步骤 7/8
目标：求解二阶偏导
代入后得 $\frac{\partial^2 x}{\partial u^2}(1+8xyz) + \frac{32x^2z^2 + 8yz - 16x^2y}{(1+8xyz)^2} = 0$，
所以 $\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{32x^2z^2 + 8yz - 16x^2y}{(1+8xyz)^3}$。
提示：注意分母的幂次，移项时符号。
步骤 8/8
目标：总结结果
最终得到：
$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{1+8xyz}$，
$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{4xz}{1+8xyz}$，
$\frac{\partial z}{\partial u} = -\frac{2x}{1+8xyz}$，
$\frac{\partial^2 x}{\partial u^2} = -\frac{32x^2z^2 + 8yz - 16x^2y}{(1+8xyz)^3}$。
提示：检查结果是否对称，注意分母相同。
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