南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．对任意的正数 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 f(x)=sin(x²) 在 [0,a] 上一致连续
首先，函数 $f(x)=\sin(x^2)$ 是由多项式 $x^2$ 与正弦函数复合而成的初等函数，在任意闭区间上连续。特别地，对于任意给定的正数 $a$，区间 $[0,a]$ 是闭区间，根据康托尔定理（闭区间上的连续函数必一致连续），$f(x)$ 在 $[0,a]$ 上一致连续。
公式：康托尔定理：若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。
提示：注意：闭区间是有限区间，且包含端点，这是应用康托尔定理的前提。
步骤 2/5
目标：构造两个点列以证明在 R 上非一致连续
为了证明 $f(x)=\sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续，我们需要找到两个点列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，使得 $|x_n - y_n| \to 0$，但 $|f(x_n) - f(y_n)|$ 不趋于 $0$。令 $x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，$y_n = \sqrt{2n\pi}$，其中 $n$ 为正整数。
公式：$x_n = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \quad y_n = \sqrt{2n\pi}$
提示：选择这样的点列是为了让函数值分别取到 1 和 0，从而差为常数。
步骤 3/5
目标：计算两点列之间的距离并证明趋于零
计算 $|x_n - y_n|$：
$$
|x_n - y_n| = \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} - \sqrt{2n\pi}
$$
利用有理化公式 $\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$，其中 $A-B = \frac{\pi}{2}$，分母 $\sqrt{A}+\sqrt{B} \approx 2\sqrt{2n\pi}$，因此
$$
|x_n - y_n| = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}} + \sqrt{2n\pi}} \to 0 \quad (n \to \infty)
$$
公式：$|x_n - y_n| = \frac{\pi/2}{\sqrt{2n\pi + \pi/2} + \sqrt{2n\pi}}$
提示：有理化是处理根式差的标准技巧，注意分母趋于无穷大，所以差趋于零。
步骤 4/5
目标：计算两点列的函数值差
计算 $f(x_n)$ 和 $f(y_n)$：
$$
f(x_n) = \sin\left(2n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1
$$
$$
f(y_n) = \sin(2n\pi) = 0
$$
因此
$$
|f(x_n) - f(y_n)| = |1 - 0| = 1
$$
公式：$|f(x_n)-f(y_n)| = 1$
提示：利用正弦函数的周期性：$\sin(2n\pi + \theta) = \sin\theta$。
步骤 5/5
目标：根据一致连续定义得出矛盾，证明非一致连续
一致连续的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，只要 $|x-y| < \delta$，就有 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。取 $\varepsilon = 1$，则对于任意 $\delta > 0$，由于 $|x_n - y_n| \to 0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| < \delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)| = 1 \geq \varepsilon$，这与一致连续的定义矛盾。因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in\mathbb{R}, |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
提示：反证法：取 $\varepsilon=1$，利用构造的点列说明不存在这样的 $\delta$。
步骤 6/7
目标：计算两点距离并取极限
计算 $|x_n - y_n|$：$|x_n - y_n| = \frac{|x_n^2 - y_n^2|}{x_n + y_n} = \frac{\pi}{\sqrt{n\pi + \pi/2} + \sqrt{n\pi - \pi/2}}$。当 $n \to \infty$ 时，分母 $\to \infty$，故 $|x_n - y_n| \to 0$。
公式：|x_n - y_n| = \frac{\pi}{\sqrt{n\pi + \pi/2} + \sqrt{n\pi - \pi/2}} \to 0 \quad (n \to \infty)
提示：利用平方差公式化简距离，注意分母趋于无穷大。
步骤 7/7
目标：得出结论
存在点列 $x_n, y_n$ 满足 $|x_n - y_n| \to 0$，但 $|f(x_n) - f(y_n)| = 2$ 不趋于 $0$，故 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $\mathbb{R}$ 上非一致连续。
公式：\lim_{n \to \infty} |x_n - y_n| = 0, \quad |f(x_n) - f(y_n)| = 2 \not\to 0
提示：非一致连续的证明关键是构造合适的点列，使函数值差保持固定正数。
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