南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五．证明 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入差值积分，将原不等式转化为证明积分大于零
令 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1+x^{2}} \, dx$，则原不等式等价于证明 $I > 0$。
公式：I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1+x^{2}} \, dx
提示：注意被积函数在区间内符号会变化，不能直接判断正负。
步骤 2/5
目标：对其中一个积分进行变量代换，建立两个积分之间的联系
设 $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \, dx$，令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t: \frac{\pi}{2} \to 0$，于是
\[
A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - t)}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^{2}} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^{2}} \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \, dx
\]
公式：A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \, dx
提示：代换后注意分母的变化，以及三角函数的转换。
步骤 3/5
目标：写出两个积分的差，并分析被积函数分母的大小关系
令 $B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \, dx$，则
\[
B - A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx
\]
在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，$x < \frac{\pi}{2} - x$，故 $x^{2} < (\frac{\pi}{2} - x)^{2}$，从而 $\frac{1}{1+x^{2}} > \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}}$，括号为正；在 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ 上，括号为负。
公式：B - A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx
提示：注意 $\cos x$ 在区间上恒非负，但括号符号变化，需进一步处理。
步骤 4/5
目标：将积分分段，并对后半段进行变量代换，合并到前半段
将 $B-A$ 分成两段：
\[
B - A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx
\]
对第二个积分，令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $x: \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{2}$ 时 $t: \frac{\pi}{4} \to 0$，$dx = -dt$，$\cos x = \sin t$，代入得
\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \sin t \left( \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^{2}} - \frac{1}{1+t^{2}} \right) (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin t \left( \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - t)^{2}} - \frac{1}{1+t^{2}} \right) dt
\]
与第一段合并，得到
\[
B - A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx
\]
公式：B - A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \left( \frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} \right) dx
提示：代换后注意括号内符号的变化，合并时需仔细。
步骤 5/5
目标：判断被积函数的正负，完成证明
在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，$\cos x - \sin x > 0$；又因为 $x < \frac{\pi}{2} - x$，所以 $x^{2} < (\frac{\pi}{2} - x)^{2}$，从而 $\frac{1}{1+x^{2}} - \frac{1}{1+(\frac{\pi}{2} - x)^{2}} > 0$。因此被积函数在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上处处为正，仅在端点为零，故积分 $B - A > 0$，即
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \, dx > \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \, dx
\]
原不等式得证。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \, dx > \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \, dx
提示：注意端点处函数值为零，不影响严格不等号。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于 $\Delta > 0$，即 $I_2 - I_1 > 0$，因此原不等式成立：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \, dx < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \, dx$。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2}} \, dx < \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^{2}} \, dx
提示：最终结论需明确写出不等式方向，避免符号错误。
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