南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八．将 $\displaystyle f(x)=1-x^{2}(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确函数与展开条件
函数为 $f(x)=1-x^2$，定义在 $0 \leq x \leq \pi$。要展开成余弦级数，需对函数做偶延拓，然后以周期 $2\pi$ 展开成傅里叶级数。余弦级数的形式为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)$，其中 $a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx)\,dx$，$n=0,1,2,\dots$。
公式：a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx)\,dx
提示：注意余弦级数对应偶延拓，积分区间为 $[0,\pi]$，系数公式中因子为 $2/\pi$。
步骤 2/7
目标：计算系数 $a_0$
计算 $a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1-x^2)\,dx$。先求积分：$\int_0^\pi 1\,dx = \pi$，$\int_0^\pi x^2\,dx = \frac{\pi^3}{3}$，所以 $\int_0^\pi (1-x^2)\,dx = \pi - \frac{\pi^3}{3}$。于是 $a_0 = \frac{2}{\pi}\left(\pi - \frac{\pi^3}{3}\right) = 2 - \frac{2\pi^2}{3}$。
公式：a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1-x^2)\,dx = 2 - \frac{2\pi^2}{3}
提示：计算 $a_0$ 时注意 $\cos(0\cdot x)=1$，直接代入公式即可。
步骤 3/7
目标：计算 $a_n$（$n\ge 1$）的表达式
对于 $n\ge 1$，$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1-x^2)\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[ \int_0^\pi \cos(nx)\,dx - \int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx \right]$。第一项 $\int_0^\pi \cos(nx)\,dx = \left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_0^\pi = 0$，所以 $a_n = -\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx$。
公式：a_n = -\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx
提示：注意 $\int_0^\pi \cos(nx)\,dx=0$ 是常见结果，可简化计算。
步骤 4/7
目标：计算积分 $\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx$
使用分部积分法。令 $u=x^2$，$dv=\cos(nx)\,dx$，则 $du=2x\,dx$，$v=\frac{\sin(nx)}{n}$。于是 $\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx = \left.\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right|_0^\pi - \frac{2}{n}\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx$。代入上下限，$x=\pi$ 时 $\sin(n\pi)=0$，$x=0$ 时为 $0$，第一项为 $0$。剩下 $-\frac{2}{n}\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx$。再分部积分：令 $u=x$，$dv=\sin(nx)\,dx$，则 $du=dx$，$v=-\frac{\cos(nx)}{n}$。于是 $\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{1}{n}\int_0^\pi \cos(nx)\,dx$。第二项积分为 $0$，第一项代入上下限：$x=\pi$ 得 $-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$，$x=0$ 得 $0$。所以 $\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi(-1)^n}{n}$。因此 $\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx = -\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = \frac{2\pi(-1)^n}{n^2}$。
公式：\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2\pi(-1)^n}{n^2}
提示：分部积分时注意符号，$\cos(n\pi)=(-1)^n$ 是关键。
步骤 5/7
目标：代回求 $a_n$
将积分结果代入 $a_n = -\frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi(-1)^n}{n^2} = -\frac{4(-1)^n}{n^2}$。
公式：a_n = -\frac{4(-1)^n}{n^2}
提示：注意约去 $\pi$，结果简洁。
步骤 6/7
目标：写出余弦级数展开式
由 $\frac{a_0}{2} = 1 - \frac{\pi^2}{3}$，得 $1 - x^2 = 1 - \frac{\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$，$0 \leq x \leq \pi$。
公式：1 - x^2 = 1 - \frac{\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)
提示：注意 $a_0/2$ 是常数项，不要遗漏负号。
步骤 7/7
目标：利用展开求级数和
令 $x=0$，左边为 $1$，右边为 $1 - \frac{\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$。于是 $1 = 1 - \frac{\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$，消去 $1$ 得 $0 = -\frac{\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$，所以 $4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{3}$，即 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}
提示：代入 $x=0$ 时 $\cos(0)=1$，注意左边 $f(0)=1$。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
因此所求级数和为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}$。
提示：最终结果要化简。
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