南京航空航天大学 2023年数学分析第0题

考虑绝对值积分 $\int_0^{+\infty} \left| \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100} \right| dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x} |\cos x|}{x+100} dx$。当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sqrt{x}}{x+100} \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，因此被积函数大致为 $\frac{|\cos x|}{\sqrt{x}}$。由于 $|\cos x|$ 在周期 $\pi$ 上的平均值为 $2/\pi$，且 $\int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} dx$ 发散（与 $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ 比较），故原积分不绝对收敛。

将积分写为 $\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x+100} \cos x \, dx$。令 $h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+100}$，则 $h(x) > 0$ 且当 $x > 100$ 时，$h'(x) = \frac{100 - x}{2\sqrt{x}(x+100)^2} < 0$，故 $h(x)$ 在 $[100, +\infty)$ 上单调递减趋于 $0$。而 $\int_A^B \cos x \, dx$ 有界（不超过 $2$），由Dirichlet判别法，$\int_{100}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100} dx$ 收敛。

考虑区间 $[0, 100]$，被积函数 $\frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100}$ 在 $x=0$ 处趋于 $0$（因为 $\sqrt{x} \to 0$），且分母不为零，故在闭区间 $[0,100]$ 上连续，因此该有限积分收敛。

由前两步可知，原积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100} dx$ 收敛，但绝对值积分发散，因此为条件收敛。

考虑绝对值积分 $\int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} dx$。由于 $|\cos x|$ 在任意长度为 $\pi$ 的区间上平均值为 $2/\pi$，且 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 单调递减，该积分与 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ 比较发散（因为 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 不可积）。更严格地，利用 $|\cos x| \ge \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$，可得 $\int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} dx$ 发散。因此原积分不是绝对收敛。

由步骤2知积分在0附近收敛；由步骤3和4知无穷远处积分条件收敛；由步骤5知非绝对收敛。因此原积分条件收敛。