南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十一．求重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}, a, b, c>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，将椭球区域化为单位球区域
令 $x = a u$, $y = b v$, $z = c w$，则雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc$。原区域 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1$ 变为 $u^2+v^2+w^2 \le 1$，即单位球体。被积函数 $\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}$ 变为 $\sqrt{1-u^2-v^2-w^2}$。原积分化为 $$\iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}} \, dV = abc \iiint_{u^2+v^2+w^2 \le 1} \sqrt{1-u^2-v^2-w^2} \, du\,dv\,dw$$
公式：x = a u, y = b v, z = c w, \quad \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc
提示：注意雅可比行列式是常数 $abc$，不要遗漏；替换后积分区域变为单位球体，被积函数形式简化。
步骤 2/5
目标：在单位球上使用球坐标变换
在 $(u,v,w)$ 空间中采用球坐标：$u = r\sin\theta\cos\phi$, $v = r\sin\theta\sin\phi$, $w = r\cos\theta$，其中 $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \pi$, $0 \le \phi \le 2\pi$。体积元 $du\,dv\,dw = r^2\sin\theta \, dr\,d\theta\,d\phi$。被积函数 $\sqrt{1-u^2-v^2-w^2} = \sqrt{1-r^2}$。于是积分化为 $$I_0 = \iiint_{r\le 1} \sqrt{1-r^2} \, r^2\sin\theta \, dr\,d\theta\,d\phi$$
公式：u = r\sin\theta\cos\phi, \quad v = r\sin\theta\sin\phi, \quad w = r\cos\theta, \quad dV = r^2\sin\theta \, dr\,d\theta\,d\phi
提示：球坐标中 $\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\pi$，$\phi$ 的范围是 $0$ 到 $2\pi$，不要混淆。
步骤 3/5
目标：分离角度积分并计算
将三重积分分解为角度部分和径向部分：$$I_0 = \left(\int_0^{2\pi} d\phi\right) \left(\int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta\right) \left(\int_0^1 \sqrt{1-r^2} \, r^2 \, dr\right)$$ 计算角度积分：$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$，$\int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2$，角度部分乘积为 $4\pi$。因此 $$I_0 = 4\pi \int_0^1 \sqrt{1-r^2} \, r^2 \, dr$$
公式：\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi, \quad \int_0^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2
提示：角度积分是独立的，可以先计算出来，简化后续计算。
步骤 4/5
目标：计算径向积分
令 $r = \sin t$，则 $dr = \cos t \, dt$，当 $r=0$ 时 $t=0$，$r=1$ 时 $t=\pi/2$。于是 $\sqrt{1-r^2} = \cos t$，$r^2 = \sin^2 t$，代入得 $$\int_0^1 \sqrt{1-r^2} \, r^2 \, dr = \int_0^{\pi/2} \cos t \cdot \sin^2 t \cdot \cos t \, dt = \int_0^{\pi/2} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$$ 利用 $\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4}\sin^2 2t$，则 $$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4}\sin^2 2t \, dt$$ 令 $u = 2t$，$dt = du/2$，积分限变为 $0$ 到 $\pi$，得 $$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin^2 u \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}$$ 其中 $\int_0^{\pi} \sin^2 u \, du = \frac{\pi}{2}$。
公式：\int_0^1 \sqrt{1-r^2} \, r^2 \, dr = \frac{\pi}{16}
提示：换元时注意积分限的变化；$\sin^2 u$ 在 $0$ 到 $\pi$ 上的积分可用对称性或倍角公式计算。
步骤 5/5
目标：组合结果并得到最终答案
单位球上的积分 $I_0 = 4\pi \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi^2}{4}$。原积分乘以 $abc$，得 $$\iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}} \, dV = abc \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2 abc}{4}$$
公式：\iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}} \, dV = \frac{\pi^2 abc}{4}
提示：最终结果应包含 $abc$ 因子，注意检查系数是否正确。
步骤 6/6
目标：合并结果得到最终答案
将径向积分结果代入：
$$I = abc \cdot 4\pi \cdot \frac{\pi}{16} = abc \cdot \frac{\pi^2}{4}$$
因此原重积分的值为 $\frac{\pi^2 abc}{4}$。
公式：$$\iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}\, dV = \frac{\pi^2 abc}{4}$$
提示：最终结果与 $a,b,c$ 成正比，符合量纲分析。
步骤 7/7
目标：汇总结果得到最终答案
将径向积分结果代入：
$$\iiint_{u^2+v^2+w^2 \leq 1} \sqrt{1-u^2-v^2-w^2} \, du\,dv\,dw = 4\pi \cdot \frac{\pi}{16} = \frac{\pi^2}{4}.$$
再乘以 $abc$，得原积分值为 $abc \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4} abc$。
公式：无
提示：注意最终结果要乘以变量替换的雅可比因子 $abc$。
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