南京航空航天大学 2023年数学分析第0题

第一个方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 表示半径为 $a$、球心在原点的球面。第二个方程 $xyz=0$ 表示三个坐标平面：$x=0$ 或 $y=0$ 或 $z=0$。它们的交集是球面上所有位于坐标平面上的点，即三个大圆：球面与 $x=0$ 平面的交线（在 $yz$ 平面上的大圆）、球面与 $y=0$ 平面的交线（在 $xz$ 平面上的大圆）、球面与 $z=0$ 平面的交线（在 $xy$ 平面上的大圆）。这三个大圆两两相交于坐标轴与球面的六个交点 $(\pm a,0,0)$、$(0,\pm a,0)$、$(0,0,\pm a)$。曲线质量均匀分布在这三个大圆上。

整个图形关于三个坐标平面对称，且三个大圆完全等价。因此重心坐标满足 $\bar{x} = \bar{y} = \bar{z}$。但原点 $(0,0,0)$ 不在曲线上（球心不在球面上），所以不能直接断定重心在原点，需要实际计算。由于对称性，只需计算 $\bar{x}$，其余坐标同理可得。

每个大圆的周长为 $2\pi a$，共有三个大圆。虽然它们相交于六个点，但点对长度没有贡献，因此总长度就是三个大圆周长之和：$L = 3 \times (2\pi a) = 6\pi a$。

将曲线按三个大圆分别积分： 1. 在 $x=0$ 平面上的大圆：所有点 $x=0$，积分贡献为 $0$。 2. 在 $y=0$ 平面上的大圆：参数化为 $x = a\cos\theta,\ z = a\sin\theta,\ y=0,\ \theta\in[0,2\pi)$，弧长微元 $ds = a\,d\theta$，积分 $\int_{y=0\text{ 圆}} x\,ds = \int_0^{2\pi} (a\cos\theta)\, a\, d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = 0$。 3. 在 $z=0$ 平面上的大圆：参数化为 $x = a\cos\phi,\ y = a\sin\phi,\ z=0,\ \phi\in[0,2\pi)$，同样 $\int_{z=0\text{ 圆}} x\,ds = \int_0^{2\pi} (a\cos\phi)\, a\, d\phi = a^2 \int_0^{2\pi} \cos\phi\, d\phi = 0$。 三个积分均为 $0$，故 $\int_{\text{曲线}} x\,ds = 0$。

由重心公式 $\bar{x} = \frac{1}{L} \int_{\text{曲线}} x\,ds = 0$，结合对称性得 $\bar{y}=0,\ \bar{z}=0$。因此重心位于原点 $(0,0,0)$。这个结果也可由对称性直接理解：三个大圆均匀分布且对称于原点，故重心即为球心。

将三个大圆的积分相加，得到总积分：$\int_C x\,ds=0+0+0=0$，$\int_C y\,ds=0+0+0=0$，$\int_C z\,ds=0+0+0=0$。曲线总长度 $L$ 为三个大圆周长的和：每个大圆周长为 $2\pi a$，故 $L=3\times 2\pi a=6\pi a$。因此重心坐标为 $\bar{x}=\frac{0}{6\pi a}=0$，$\bar{y}=0$，$\bar{z}=0$，即 $(0,0,0)$。