南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十．计算曲面积分
$$
\iint_{S}\left(\frac{x^{3}}{a^{2}}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y^{3}}{b^{2}}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{z^{3}}{c^{2}}+x^{3} y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(x \geq 0)$ ，取后侧，$\displaystyle a, b, c>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确曲面积分的形式与方向
题目中的曲面积分是第二类曲面积分，形式为 \(\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy\)，其中 \(P = \frac{x^3}{a^2} + yz\)，\(Q = \frac{y^3}{b^2} + z^2 x^2\)，\(R = \frac{z^3}{c^2} + x^3 y^3\)。曲面 \(S\) 是椭球面 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) 在 \(x \ge 0\) 的部分，取后侧，即法向量指向 \(x\) 负方向。
公式：\iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy
提示：注意第二类曲面积分的方向性，后侧通常指从 \(x\) 负方向看去的侧面，法向量与 \(x\) 轴正向相反。
步骤 2/6
目标：补面构造封闭曲面并确定方向
由于曲面 \(S\) 不封闭，补上平面 \(S_0: x=0\) 上的椭圆盘 \(\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1\)，形成封闭曲面 \(\Sigma = S \cup S_0\)。封闭区域 \(V\) 为半椭球内部：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1,\ x \ge 0\)。\(\Sigma\) 取外侧：在 \(S\) 上外侧指向 \(x\) 正方向（与题目后侧相反），在 \(S_0\) 上外侧指向 \(x\) 负方向。
公式：\Sigma = S \cup S_0,\quad S_0: x=0,\ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1
提示：补面方向要与封闭区域外侧一致，注意原曲面方向与外侧的关系，后续需用负号调整。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
高斯公式：\(\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) dV\)。计算散度：\(\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{3x^2}{a^2}\)，\(\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{3y^2}{b^2}\)，\(\frac{\partial R}{\partial z} = \frac{3z^2}{c^2}\)，散度为 \(3\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)\)。
公式：\iiint_V 3\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right) dV
提示：散度计算要仔细，注意每个偏导只对对应变量求导。
步骤 4/6
目标：计算三重积分（变量替换与球坐标）
作变量替换 \(u = x/a,\ v = y/b,\ w = z/c\)，雅可比行列式为 \(abc\)，区域变为单位半球 \(u^2+v^2+w^2 \le 1,\ u \ge 0\)，被积函数为 \(3(u^2+v^2+w^2)\)。积分化为 \(\iiint_{\text{半球}} 3(u^2+v^2+w^2) \cdot abc\, du\,dv\,dw\)。用球坐标：\(u = r\sin\theta\cos\phi,\ v = r\sin\theta\sin\phi,\ w = r\cos\theta\)，\(0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le \pi,\ -\pi/2 \le \phi \le \pi/2\)（对应 \(u \ge 0\)）。\(u^2+v^2+w^2 = r^2\)，体积元 \(dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi\)。积分：\(3abc \int_0^1 \int_0^\pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^4 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr = 3abc \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6\pi abc}{5}\)。
公式：\int_0^1 r^4 dr = \frac{1}{5},\ \int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2,\ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi = \pi
提示：球坐标中 \(\phi\) 的范围由 \(u \ge 0\) 决定，即 \(\cos\phi \ge 0\)，取长度为 \(\pi\) 的区间。
步骤 5/6
目标：处理方向关系并计算补面贡献
设 \(I_{\Sigma}\) 为封闭曲面外侧积分，\(I_S(\text{外侧})\) 和 \(I_{S0}(\text{外侧})\) 分别为 \(S\) 和 \(S_0\) 上的外侧积分。由高斯公式得 \(I_{\Sigma} = I_S(\text{外侧}) + I_{S0}(\text{外侧}) = \frac{6\pi abc}{5}\)。题目要求 \(I_S(\text{后侧}) = -I_S(\text{外侧})\)。计算 \(S_0\) 上的积分：在 \(x=0\) 上，\(P = yz\)，\(Q = y^3/b^2\)，\(R = z^3/c^2\)，法向量为 \((-1,0,0)\)，则 \(\iint_{S0} P\,dy\,dz = \iint_D yz \cdot (-1)\, dy\,dz\)，其中 \(D: \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1\)。由于 \(yz\) 是奇函数且区域对称，该积分为0；\(Q\) 和 \(R\) 项因法向量分量也为0。故 \(I_{S0}(\text{外侧}) = 0\)。
公式：I_S(\text{后侧}) = -\left( \frac{6\pi abc}{5} - I_{S0}(\text{外侧}) \right)
提示：补面 \(S_0\) 上的积分要利用对称性和奇偶性简化，注意法向量方向对第二类曲面积分的影响。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
由 \(I_{S0}(\text{外侧}) = 0\)，得 \(I_S(\text{后侧}) = -\left( \frac{6\pi abc}{5} - 0 \right) = -\frac{6\pi abc}{5}\)。
公式：\boxed{-\dfrac{6\pi abc}{5}}
提示：最终答案要包含负号，注意检查方向推导是否正确。
步骤 7/7
目标：得到原曲面积分结果
由 $\iint_S = \iint_{\Sigma} - \iint_{S_1}$，代入得
$$\iint_S = -\frac{6\pi abc}{5} - 0 = -\frac{6\pi abc}{5}$$
公式：\boxed{-\dfrac{6\pi abc}{5}}
提示：最终结果与 $a,b,c$ 成正比，注意负号不可遗漏。
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