南京航空航天大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle f(x)$ 在任意有限区间可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与思路
题目给出函数 $f(x)$ 在任意有限区间可积，且当 $x \to +\infty$ 时 $f(x) \to l$。要证明积分平均值 $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt$ 也趋于 $l$。证明思路是利用极限定义将积分分为有限区间和无穷远区间两部分，分别处理。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = l
提示：注意条件中 $f(x)$ 在任意有限区间可积，保证积分存在，但不要求连续。
步骤 2/5
目标：由极限定义出发
因为 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$，由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，使得当 $t > M$ 时，有 $|f(t) - l| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0, \forall t > M: |f(t) - l| < \varepsilon
提示：这里的 $M$ 是分界点，将积分区间分为 $[0, M]$ 和 $[M, x]$。
步骤 3/5
目标：拆分积分
考虑 $x > M$，将积分拆分为两部分：
$$
\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = \frac{1}{x} \int_0^M f(t) \, dt + \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt.
$$
记 $C = \int_0^M f(t) \, dt$，则第一项 $\frac{C}{x} \to 0$ 当 $x \to +\infty$。
公式：\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = \frac{C}{x} + \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt
提示：$C$ 是固定常数，因为 $f$ 在 $[0, M]$ 上可积。
步骤 4/5
目标：估计第二项积分
当 $t \in [M, x]$ 时，由 $|f(t)-l| < \varepsilon$ 得 $l - \varepsilon < f(t) < l + \varepsilon$。积分得：
$$
(l - \varepsilon)(x - M) < \int_M^x f(t) \, dt < (l + \varepsilon)(x - M).
$$
两边除以 $x$：
$$
(l - \varepsilon)\frac{x-M}{x} < \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt < (l + \varepsilon)\frac{x-M}{x}.
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x-M}{x} \to 1$，因此存在 $X > M$，使得当 $x > X$ 时，有
$$
l - 2\varepsilon < \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt < l + 2\varepsilon.
$$
公式：\frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt \in (l - 2\varepsilon, l + 2\varepsilon) \quad \text{当 } x \text{ 充分大}
提示：这里用到了 $\frac{x-M}{x} = 1 - \frac{M}{x}$，当 $x$ 很大时接近1，因此可以调整到 $1 \pm \varepsilon$ 范围内，从而得到 $l \pm 2\varepsilon$ 的界。
步骤 5/5
目标：合并两部分并完成证明
对于足够大的 $x$（例如 $x > \max\{M, X, |C|/\varepsilon\}$），有
$$
\left| \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt - l \right|
= \left| \frac{C}{x} + \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt - l \right|
\leq \frac{|C|}{x} + \left| \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt - l \right|.
$$
其中 $\frac{|C|}{x} < \varepsilon$，且由第四步知 $\left| \frac{1}{x} \int_M^x f(t) \, dt - l \right| < 2\varepsilon$，因此整体小于 $3\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，得极限为 $l$。
公式：\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = l
提示：注意控制误差时需同时考虑 $C/x$ 和积分部分的误差，最终用 $\varepsilon$ 的任意性得到极限。
步骤 6/6
目标：合并两部分并完成证明
第一部分 $C/x$，当 $x$ 足够大时，$|C/x| < \varepsilon$。因此对于 $x > \max\{X, |C|/\varepsilon\}$，有：
$$\left| \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt - l \right| < 3\varepsilon$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，即得极限为 $l$。
$$\left| \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt - l \right| < 3\varepsilon$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，即得极限为 $l$。
公式：\left| \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt - l \right| < 3\varepsilon
提示：注意合并时使用三角不等式，最终误差可任意小。
步骤 7/7
目标：取x充分大使第一部分也小于ε
取 $x$ 充分大，使得 $\left| \frac{M}{x} \right| < \varepsilon$，则上式小于 $2\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，得
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt = l.
\]
提示：注意ε的任意性，最终极限为l。
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