南京航空航天大学 2026年数学分析第12题

曲面 $\Sigma$ 由三部分组成：底部是坐标平面 $z=0$，顶部是旋转抛物面 $z=x^2+y^2$，侧面是圆柱面 $x^2+y^2=1$。这三个面围成一个封闭立体区域 $V$。在柱坐标下，区域表示为：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le 1$，$0 \le z \le r^2$。

原积分为 $\iint_{\Sigma} y^2 z \,dxdy + xz \,dxdz + xy^2 \,dydz$。对应高斯公式中的 $P=xy^2$，$Q=xz$，$R=y^2z$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x}=y^2$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=0$，$\frac{\partial R}{\partial z}=y^2$，故散度为 $2y^2$。由高斯公式，曲面积分等于 $\iiint_V 2y^2 \,dV$。

将 $y^2 = r^2\sin^2\theta$ 和 $dV = r\,dr\,d\theta\,dz$ 代入积分：$\iiint_V 2y^2\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{r^2} 2r^2\sin^2\theta \cdot r \,dz\,dr\,d\theta$。先对 $z$ 积分：$\int_{0}^{r^2} dz = r^2$，得 $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2r^5\sin^2\theta \,dr\,d\theta$。

先对 $r$ 积分：$\int_{0}^{1} 2r^5\,dr = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{2\pi} \sin^2\theta\,d\theta = \pi$（因为 $\sin^2\theta$ 的周期平均值为 $\frac{1}{2}$，乘以 $2\pi$ 得 $\pi$）。相乘得 $\frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}$。

区域 Ω 在 xy 平面上的投影为圆盘 \( x^2 + y^2 \le 1 \)，z 从 0 到 \( x^2 + y^2 \)。采用柱坐标：\( x = r\cos\theta \), \( y = r\sin\theta \), \( z = z \)，体积元 \( dV = r\, dr\, d\theta\, dz \)，被积函数 \( 2y^2 = 2r^2\sin^2\theta \)。积分区域：\( r \) 从 0 到 1，\( \theta \) 从 0 到 \( 2\pi \)，\( z \) 从 0 到 \( r^2 \)。

先对 z 积分：\( \int_{z=0}^{r^2} dz = r^2 \)，积分变为 \( \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} 2r^2\sin^2\theta \cdot r \cdot r^2 \, dr\, d\theta = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} 2r^5 \sin^2\theta \, dr\, d\theta \)。对 r 积分：\( \int_0^1 2r^5 \, dr = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \)。剩下 \( \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{3} \sin^2\theta \, d\theta = \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} \frac{1-\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{6} \int_0^{2\pi} (1-\cos 2\theta) \, d\theta \)。计算得 \( \frac{1}{6} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3} \)。

因此原曲面积分的值为 \( \frac{\pi}{3} \)。