南开大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3、设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的有界区域，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\displaystyle \Omega$ 的开集 $U$ ，象集 $\displaystyle f(U)=\{f(x) \mid x \in U\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{1}$ 中的开集，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上的最大值必在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 的边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 上取得，即 $\displaystyle \max _{x \in \bar{\Omega}} f(x)=\max _{x \in \overline{\partial \Omega}} f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确条件和目标，引入反证法思路
设 $\\Omega \\subset \\mathbb{R}^n$ 为有界开区域，$f$ 在 $\\bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\\Omega$ 的开集 $U$，$f(U)$ 是 $\\mathbb{R}^1$ 中的开集。要证 $\\max_{x \\in \\bar{\\Omega}} f(x) = \\max_{x \\in \\partial \\Omega} f(x)$。假设最大值在内部点 $x_0 \\in \\Omega$ 处取到，记 $M = f(x_0) = \\max_{x \\in \\bar{\\Omega}} f(x)$。
公式：M = f(x_0) = \\max_{x \\in \\bar{\\Omega}} f(x), \\quad x_0 \\in \\Omega
提示：反证法的假设要明确：最大值在内部取到，而不是边界。
步骤 2/4
目标：构造包含最大值点的开集
由于 $\\Omega$ 是开集，$x_0 \\in \\Omega$，存在一个开集 $U \\subset \\Omega$ 使得 $x_0 \\in U$（例如取 $x_0$ 的一个充分小的开邻域）。在 $U$ 上，由最大值定义有 $f(x) \\leq M$ 对所有 $x \\in U$ 成立，且 $f(x_0) = M$。
公式：U \\subset \\Omega, \\quad x_0 \\in U, \\quad f(x) \\leq M \\; \\forall x \\in U
提示：U 必须完全包含在 Ω 内部，不能碰到边界。
步骤 3/4
目标：利用开映射条件导出矛盾
由题设，$f(U)$ 是 $\\mathbb{R}^1$ 中的开集。因为 $M = f(x_0) \\in f(U)$，存在 $\\varepsilon > 0$ 使得开区间 $(M - \\varepsilon, M + \\varepsilon) \\subset f(U)$。于是存在 $y \\in U$ 使得 $f(y) = M + \\varepsilon/2 > M$。但这与 $M$ 是 $\\bar{\\Omega}$ 上的最大值矛盾（因为 $y \\in U \\subset \\Omega \\subset \\bar{\\Omega}$）。
公式：(M - \\varepsilon, M + \\varepsilon) \\subset f(U) \\Rightarrow \\exists y \\in U, f(y) = M + \\frac{\\varepsilon}{2} > M
提示：开集性质保证了存在比 M 更大的函数值，这是矛盾的关键。
步骤 4/4
目标：得出结论
反证假设不成立，因此最大值点不可能在 $\\Omega$ 内部，必在边界 $\\partial \\Omega$ 上。由于 $f$ 在紧集 $\\bar{\\Omega}$ 上连续，最大值存在，故 $\\max_{x \\in \\bar{\\Omega}} f(x) = \\max_{x \\in \\partial \\Omega} f(x)$。
公式：\\max_{x \\in \\bar{\\Omega}} f(x) = \\max_{x \\in \\partial \\Omega} f(x)
提示：注意边界是闭集，连续函数在闭集上必有最大值。
步骤 5/5
目标：得出结论
矛盾表明假设不成立，因此最大值点不可能在 $\Omega$ 内部，只能在边界 $\partial \Omega$ 上取得。从而 $\max_{x \in \bar{\Omega}} f(x) = \max_{x \in \partial \Omega} f(x)$。
公式：\max_{x \in \bar{\Omega}} f(x) = \max_{x \in \partial \Omega} f(x)
提示：结论成立依赖于 $f$ 在 $\Omega$ 内的开映射性质，若没有此条件，最大值可能在内部取得（如常值函数）。
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