南开大学 2026年数学分析第7题

已知 $\displaystyle a_{n}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{2^{x}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \mathrm{~d} x$。当 $n$ 很大时，分母 $(1+x^2)^n$ 的衰减速度由 $1+x^2$ 的最小值决定，因为在该点附近被积函数贡献最大。

函数 $g(x)=1+x^2$ 在区间 $[1/2, 2]$ 上单调递增（因为 $g'(x)=2x>0$），最小值在左端点 $x=1/2$ 处取得，值为 $1+(1/2)^2 = 5/4$；最大值在右端点 $x=2$ 处，值为 $5$。因此当 $n$ 很大时，积分的主要贡献来自 $x=1/2$ 附近。

在 $x=1/2$ 附近，令 $t = x - 1/2$，则 $1+x^2 = 1 + (1/2+t)^2 = 5/4 + t + t^2$。对于小 $t$，有 $\frac{1}{(1+x^2)^n} \approx \left(\frac45\right)^n \exp\left(-n \cdot \frac{4}{5}t + O(nt^2)\right)$。分子 $2^x \approx 2^{1/2} = \sqrt{2}$。积分近似为高斯积分，可得 $a_n \sim C \cdot \left(\frac45\right)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$，其中 $C$ 为常数。

由渐近估计，$a_n \sim C \cdot (4/5)^n \cdot n^{-1/2}$，则 $a_{n+1} \sim C \cdot (4/5)^{n+1} \cdot (n+1)^{-1/2}$。因此 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4}{5} \cdot \sqrt{\frac{n}{n+1}} \to \frac{4}{5}$ 当 $n \to \infty$。严格证明可通过将积分区间分为 $[1/2, 1/2+\delta]$ 和其余部分，并控制误差项完成。

综合以上分析，数列 $a_n$ 的比值极限为 $\frac{4}{5}$，即 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4}{5}$。

上述推导使用了Laplace方法的边界点形式，由于被积函数光滑且最小值点唯一在边界，可以严格证明近似误差在取比值后趋于零。因此极限成立。最终结论为 $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4}{5}$。