厦门大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散，其中 $\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件与目标
已知对所有正整数 \(n\)，有 \(a_n > 0\)，且级数 \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) 发散，即部分和 \(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \to +\infty\)（当 \(n \to \infty\)）。需要证明级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{S_n}\) 也发散。
公式：S_n = \sum_{k=1}^n a_k \to +\infty
提示：注意 \(S_n\) 是严格递增的正数列，这是后续放缩的基础。
步骤 2/5
目标：利用部分和差表示通项
由于 \(a_n = S_n - S_{n-1}\)（定义 \(S_0 = 0\)），则通项可写为：
\[
\frac{a_n}{S_n} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}.
\]
这个形式便于与积分或不等式建立联系。
公式：\frac{a_n}{S_n} = \frac{S_n - S_{n-1}}{S_n}
提示：这种恒等变形是处理正项级数部分和问题的常用技巧。
步骤 3/5
目标：构造部分和增量下界
对任意正整数 \(n\)，取 \(m > n\)，考虑从 \(n+1\) 到 \(m\) 的部分和：
\[
\sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_k} \ge \sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_m} = \frac{S_m - S_n}{S_m} = 1 - \frac{S_n}{S_m}.
\]
这里用到了 \(S_k \le S_m\)（当 \(k \le m\)），因此 \(\frac{a_k}{S_k} \ge \frac{a_k}{S_m}\)。
公式：\sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_k} \ge 1 - \frac{S_n}{S_m}
提示：放缩方向要小心：分母越大，分数越小，所以用 \(S_m\) 替换 \(S_k\) 得到下界。
步骤 4/5
目标：利用发散性选取合适的 m
因为 \(S_n \to +\infty\)，对任意固定的 \(n\)，总存在 \(m > n\) 使得 \(S_m > 2S_n\)。代入上式得：
\[
\sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_k} > 1 - \frac{S_n}{2S_n} = \frac{1}{2}.
\]
这意味着无论从哪一项开始，总能在后面找到一段和大于 \(1/2\)。
公式：S_m > 2S_n \Rightarrow \sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_k} > \frac{1}{2}
提示：这里 \(1/2\) 是任意选定的正数，实际上任何小于 1 的正数都可以，关键是证明部分和不能任意小。
步骤 5/5
目标：用 Cauchy 收敛准则证明发散
Cauchy 收敛准则要求：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(N\) 使得对所有 \(m > n > N\) 有 \(\sum_{k=n+1}^m \frac{a_k}{S_k} < \varepsilon\)。但这里取 \(\varepsilon = 1/2\)，对任意 \(N\)，取 \(n = N\)，再取 \(m > n\) 使 \(S_m > 2S_n\)，则部分和增量大于 \(1/2\)，不满足 Cauchy 条件。因此级数发散。
公式：\forall N, \exists m > N: \sum_{k=N+1}^m \frac{a_k}{S_k} > \frac{1}{2}
提示：Cauchy 准则的否定形式是证明发散的有力工具，注意要说明对某个固定的 \(\varepsilon\) 条件被破坏。
步骤 6/6
目标：利用发散性证明部分和趋于无穷
由于 $S_n \to +\infty$，则 $\ln S_n \to +\infty$，从而 $1 + \ln S_n - \ln S_1 \to +\infty$。因此部分和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{S_k}$ 无界，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 发散。
提示：注意 $\ln S_1$ 是常数，不影响发散性。
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