厦门大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续，其 Fourier 系数为：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n=0,1,2,\dots$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n=1,2,\dots$$
要证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n}$ 均收敛。
公式：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx$$
提示：注意 $a_0$ 单独定义，但级数从 $n=1$ 开始，因此 $a_0$ 不参与讨论。
步骤 2/6
目标：应用 Parseval 等式得到系数平方和收敛
由于 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续，因此 $f$ 平方可积，Parseval 等式成立：
$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\, dx < \infty$$
由此可知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 均收敛。
公式：$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\, dx$$
提示：Parseval 等式是傅里叶分析中联系函数平方积分与系数平方和的重要工具，这里仅需其保证 $\sum a_n^2$ 和 $\sum b_n^2$ 收敛。
步骤 3/6
目标：利用 Cauchy-Schwarz 不等式估计 $\sum \frac{|a_n|}{n}$ 的部分和
考虑部分和 $\sum_{n=1}^{N} \frac{|a_n|}{n}$，由 Cauchy-Schwarz 不等式：
$$\sum_{n=1}^{N} \frac{|a_n|}{n} \le \left( \sum_{n=1}^{N} a_n^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} \right)^{1/2}$$
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛，其部分和有界；而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），因此右边有界。
公式：$$\sum_{n=1}^{N} \frac{|a_n|}{n} \le \left( \sum_{n=1}^{N} a_n^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} \right)^{1/2}$$
提示：Cauchy-Schwarz 不等式是处理形如 $\sum x_n y_n$ 的常用技巧，这里取 $x_n = |a_n|$，$y_n = 1/n$。
步骤 4/6
目标：得出 $\sum \frac{a_n}{n}$ 绝对收敛
由第三步，部分和 $\sum_{n=1}^{N} \frac{|a_n|}{n}$ 关于 $N$ 一致有界且单调递增，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a_n|}{n}$ 收敛。绝对收敛蕴含原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a_n|}{n} < \infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \text{ 收敛}$$
提示：绝对收敛是判断级数收敛的强有力工具，这里通过 $\sum |a_n|/n$ 的收敛性直接得到结论。
步骤 5/6
目标：对 $b_n$ 重复相同论证
完全类似地，对 $b_n$ 应用 Cauchy-Schwarz 不等式：
$$\sum_{n=1}^{N} \frac{|b_n|}{n} \le \left( \sum_{n=1}^{N} b_n^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} \right)^{1/2}$$
由于 $\sum b_n^2$ 收敛，$\sum 1/n^2$ 收敛，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|b_n|}{n}$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n}$ 绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{N} \frac{|b_n|}{n} \le \left( \sum_{n=1}^{N} b_n^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^2} \right)^{1/2}$$
提示：论证过程与 $a_n$ 完全对称，无需额外条件。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 Parseval 等式知 $\sum a_n^2$ 与 $\sum b_n^2$ 均收敛，结合 Cauchy-Schwarz 不等式及 $\sum 1/n^2$ 的收敛性，得到 $\sum |a_n|/n$ 与 $\sum |b_n|/n$ 均收敛，因此原级数 $\sum a_n/n$ 和 $\sum b_n/n$ 都绝对收敛，从而收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \text{ 与 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n} \text{ 均收敛}$$
提示：本题的关键在于利用平方可和性（Parseval）与 $p$-级数（$p=2$）的收敛性，通过 Cauchy-Schwarz 不等式桥接。
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