吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left[\sin \left(\tan \frac{1}{n}\right)-\sin \frac{1}{n}\right]$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，将极限转化为 x→0 的形式
令 \( x = \frac{1}{n} \)，则当 \( n \to \infty \) 时，\( x \to 0^+ \)。原极限变为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[ \sin(\tan x) - \sin x \right]
\]
公式：x = \frac{1}{n}
提示：注意 n→∞ 对应 x→0⁺，但极限过程与方向无关，可直接用 x→0。
步骤 2/5
目标：展开 tan x 到三阶
当 \( x \to 0 \) 时，
\[
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)
\]
公式：\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)
提示：tan x 的展开中 x 的奇次项系数需熟记，注意没有 x² 项。
步骤 3/5
目标：展开 sin(tan x) 到三阶
利用 \( \sin u = u - \frac{u^3}{6} + O(u^5) \)，令 \( u = \tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \)。先计算 \( u^3 \) 到 \( x^3 \) 项：
\[
u^3 = \left( x + \frac{x^3}{3} + \cdots \right)^3 = x^3 + O(x^5)
\]
代入得：
\[
\sin(\tan x) = \left( x + \frac{x^3}{3} \right) - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)
\]
公式：\sin(\tan x) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)
提示：计算 u³ 时只需保留到 x³ 项，更高阶项不影响最终 x³ 系数。
步骤 4/5
目标：展开 sin x 并计算差值
已知 \( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \)，则
\[
\sin(\tan x) - \sin x = \left( x + \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) - \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) = \frac{x^3}{3} + O(x^5)
\]
公式：\sin(\tan x) - \sin x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)
提示：注意相减时 x 项抵消，x³ 项系数相减得到 1/6 - (-1/6) = 1/3。
步骤 5/5
目标：代回极限并求出结果
将差值代入极限表达式：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left( \frac{x^3}{3} + O(x^5) \right) = \frac{1}{3}
\]
因此原极限为 \( \frac{1}{3} \)。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{1}{3}
提示：O(x⁵)/x³ → 0，不影响极限值。
步骤 6/6
目标：求极限并得到最终结果
将分子展开式代入极限表达式：
$$\frac{\sin(\tan x) - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{3} + O(x^2)$$
当 $x \to 0$ 时，$O(x^2) \to 0$，因此极限为 $\frac{1}{3}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x) - \sin x}{x^3} = \frac{1}{3}$$
提示：最后一步注意高阶无穷小 $O(x^5)$ 除以 $x^3$ 后仍为无穷小，不影响极限值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。