吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{(3 n)!}}{n^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将极限表达式转化为对数形式
设 \( a_n = \frac{\sqrt[n]{(3n)!}}{n^3} \)，则 \( \ln a_n = \frac{1}{n} \ln((3n)!) - 3 \ln n \)。
公式：\ln a_n = \frac{1}{n} \ln((3n)!) - 3 \ln n
提示：取对数可以处理根号和幂次，注意对数运算的合法性。
步骤 2/5
目标：应用斯特林公式近似阶乘的对数
斯特林公式：\( \ln(m!) = m \ln m - m + \frac{1}{2} \ln(2\pi m) + o(1) \)。令 \( m = 3n \)，得 \( \ln((3n)!) = 3n \ln(3n) - 3n + \frac{1}{2} \ln(6\pi n) + o(1) \)。
公式：\ln((3n)!) = 3n \ln(3n) - 3n + \frac{1}{2} \ln(6\pi n) + o(1)
提示：斯特林公式是处理阶乘极限的常用工具，注意余项为高阶无穷小。
步骤 3/5
目标：代入并化简 \( \ln a_n \) 的表达式
将斯特林结果代入：\( \frac{1}{n} \ln((3n)!) = 3 \ln(3n) - 3 + \frac{1}{2n} \ln(6\pi n) + o(1/n) \)。又 \( 3 \ln(3n) = 3 \ln 3 + 3 \ln n \)，所以 \( \ln a_n = (3 \ln 3 + 3 \ln n - 3 + \frac{\ln(6\pi n)}{2n} + o(1/n)) - 3 \ln n = 3 \ln 3 - 3 + \frac{\ln(6\pi n)}{2n} + o(1/n) \)。
公式：\ln a_n = 3 \ln 3 - 3 + \frac{\ln(6\pi n)}{2n} + o(1/n)
提示：注意 \( 3\ln n \) 项抵消，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：取极限得到 \( \ln a_n \) 的极限
当 \( n \to \infty \) 时，\( \frac{\ln(6\pi n)}{2n} \to 0 \)，且 \( o(1/n) \to 0 \)，因此 \( \lim_{n \to \infty} \ln a_n = 3 \ln 3 - 3 \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \ln a_n = 3 \ln 3 - 3
提示：注意 \( \frac{\ln n}{n} \to 0 \) 是常见极限。
步骤 5/5
目标：还原为原极限并得出最终结果
由 \( \ln a_n \) 的极限得 \( a_n \to e^{3 \ln 3 - 3} = \frac{e^{3 \ln 3}}{e^3} = \frac{27}{e^3} \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(3n)!}}{n^3} = \frac{27}{e^3}
提示：指数运算时注意 \( e^{3\ln 3} = 3^3 = 27 \)。
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