吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1}-\frac{\ln (n!)}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \sqrt[k]{k^{2}+\sin k}\right]$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简括号内的差
利用对数性质 $\ln((n+1)!) = \ln(n!) + \ln(n+1)$，将差式通分：
$$
\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1} - \frac{\ln (n!)}{n} = \frac{\ln(n!) + \ln(n+1)}{n+1} - \frac{\ln(n!)}{n} = \frac{n\ln(n+1) - \ln(n!)}{n(n+1)}
$$
公式：\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1} - \frac{\ln (n!)}{n} = \frac{n\ln(n+1) - \ln(n!)}{n(n+1)}
提示：注意通分时分子要仔细，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：用斯特林公式近似分子
斯特林公式：$\ln(n!) = n\ln n - n + \frac12\ln(2\pi n) + O(1/n)$。
展开 $\ln(n+1) = \ln n + \frac1n - \frac{1}{2n^2} + O(1/n^3)$，则
$$
n\ln(n+1) = n\ln n + 1 - \frac{1}{2n} + O(1/n^2)
$$
代入分子：
$$
n\ln(n+1) - \ln(n!) = \left(n\ln n + 1 - \frac{1}{2n} + \cdots\right) - \left(n\ln n - n + \frac12\ln(2\pi n) + O(1/n)\right) = n + 1 - \frac12\ln(2\pi n) + O(1/n)
$$
公式：n\ln(n+1) - \ln(n!) \sim n \quad (n\to\infty)
提示：注意 $\ln(n+1)$ 的展开要保留到 $O(1/n)$ 项，因为后面要与 $n$ 相乘。
步骤 3/6
目标：得到括号差的渐近形式
将分子近似代入：
$$
\frac{n\ln(n+1) - \ln(n!)}{n(n+1)} = \frac{n + O(\ln n)}{n(n+1)} = \frac{1}{n+1} + O\left(\frac{\ln n}{n^2}\right)
$$
因此当 $n\to\infty$ 时，
$$
\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1} - \frac{\ln (n!)}{n} \sim \frac{1}{n}
$$
公式：\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1} - \frac{\ln (n!)}{n} \sim \frac{1}{n}
提示：这里 $\frac{1}{n+1} \sim \frac{1}{n}$，高阶项可忽略。
步骤 4/6
目标：分析求和项 $\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k^2+\sin k}$
将通项改写为指数形式：
$$
\sqrt[k]{k^2+\sin k} = \exp\left(\frac{\ln(k^2+\sin k)}{k}\right)
$$
由于 $\ln(k^2+\sin k) = 2\ln k + \ln(1+\frac{\sin k}{k^2}) = 2\ln k + O(1/k^2)$，所以
$$
\frac{\ln(k^2+\sin k)}{k} = \frac{2\ln k}{k} + O\left(\frac{1}{k^3}\right)
$$
展开指数：
$$
\exp\left(\frac{2\ln k}{k} + \cdots\right) = 1 + \frac{2\ln k}{k} + O\left(\frac{(\ln k)^2}{k^2}\right)
$$
公式：\sqrt[k]{k^2+\sin k} = 1 + \frac{2\ln k}{k} + O\left(\frac{(\ln k)^2}{k^2}\right)
提示：注意 $\frac{2\ln k}{k} \to 0$，因此每一项趋近于1，但修正项不可忽略。
步骤 5/6
目标：估计求和的主项和余项
对展开式求和：
$$
\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k^2+\sin k} = \sum_{k=1}^n 1 + 2\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k} + \sum_{k=1}^n O\left(\frac{(\ln k)^2}{k^2}\right)
$$
已知 $\sum_{k=1}^n 1 = n$，$\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{k} \sim \frac12 (\ln n)^2$，而 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln k)^2}{k^2}$ 收敛，故余项为 $O(1)$。因此
$$
\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k^2+\sin k} = n + O((\ln n)^2)
$$
公式：\sum_{k=1}^n \sqrt[k]{k^2+\sin k} = n + O((\ln n)^2)
提示：调和级数型求和 $\sum \frac{\ln k}{k}$ 的渐近估计是 $\frac12 (\ln n)^2$，需要熟记。
步骤 6/6
目标：合并求极限
原极限为：
$$
\lim_{n\to\infty} \left[ \left(\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) \cdot \left( n + O((\ln n)^2) \right) \right]
$$
展开乘积：
$$
\frac{1}{n} \cdot n + \frac{1}{n} \cdot O((\ln n)^2) + o(1) = 1 + O\left(\frac{(\ln n)^2}{n}\right) + o(1)
$$
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{(\ln n)^2}{n} \to 0$，$o(1) \to 0$，故极限为 $1$。
公式：\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n} \cdot n \right) = 1
提示：注意 $O((\ln n)^2)/n \to 0$，因为对数增长慢于任何幂次。
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