吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{\cos x}\right) \tan x^{2}}{\int_{x^{2}}^{x} \ln \left(1+t^{3}\right) d t}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：处理分子中的差式 √(1+x²) - √(cos x)
当 x→0 时，对 √(1+x²) 和 √(cos x) 分别进行泰勒展开至 x⁴ 项：
√(1+x²) = 1 + x²/2 - x⁴/8 + o(x⁴)
cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴)
√(cos x) = (1 - x²/2 + x⁴/24)^(1/2) = 1 - x²/4 - x⁴/96 + o(x⁴)
相减得：√(1+x²) - √(cos x) = (1 + x²/2 - x⁴/8) - (1 - x²/4 - x⁴/96) + o(x⁴) = 3x²/4 - 11x⁴/96 + o(x⁴)
公式：\sqrt{1+x^2} - \sqrt{\cos x} = \frac{3}{4}x^2 - \frac{11}{96}x^4 + o(x^4)
提示：注意展开时需保持同阶精度，√(cos x) 的展开要利用二项式定理，并小心处理 x⁴ 项的系数。
步骤 2/4
目标：处理分子中的 tan(x²) 并合并分子
当 x→0 时，tan(x²) = x² + x⁶/3 + o(x⁶)，主要项为 x²。
将第一步结果与 tan(x²) 相乘：
(3x²/4 - 11x⁴/96 + ...)(x² + ...) = 3x⁴/4 + 高阶项（不低于 x⁶），
故分子 ~ 3x⁴/4。
公式：\left(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{\cos x}\right) \tan(x^2) \sim \frac{3}{4}x^4
提示：只需保留最低阶项，因为分母也是 x⁴ 阶，高阶项不影响极限。
步骤 3/4
目标：处理分母积分 ∫_{x²}^{x} ln(1+t³) dt
当 t→0 时，ln(1+t³) = t³ - t⁶/2 + o(t⁶)。
积分：∫_{x²}^{x} t³ dt = [t⁴/4]_{x²}^{x} = x⁴/4 - x⁸/4，主要项为 x⁴/4。
下一项：-1/2 ∫_{x²}^{x} t⁶ dt = -1/2·(x⁷ - x¹⁴)/7 = -x⁷/14 + o(x⁷)，为高阶小量。
故分母 ~ x⁴/4。
公式：\int_{x^2}^{x} \ln(1+t^3) dt \sim \frac{x^4}{4}
提示：注意积分上下限：下限 x² 比上限 x 更高阶小，积分结果主要来自上限贡献。
步骤 4/4
目标：求极限并得出最终答案
分子 ~ 3x⁴/4，分母 ~ x⁴/4，因此
lim_{x→0} (分子/分母) = (3/4) / (1/4) = 3。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{4}x^4}{\frac{1}{4}x^4} = 3
提示：确认分子分母最低阶均为 x⁴，且系数非零，可直接相除。
步骤 5/5
目标：计算极限值
分子 $\sim \frac{3}{4}x^4$，分母 $\sim \frac{1}{4}x^4$，因此：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{4}x^4}{\frac{1}{4}x^4} = 3$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{\cos x}\right) \tan(x^2)}{\int_{x^2}^{x} \ln(1+t^3) \, dt} = 3
提示：等价无穷小替换时，要确保分子分母的主阶相同且非零，才能直接相除得到极限。
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