吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5． $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察积分形式，确定解题方向
被积函数为 $x^n \ln(1+x)$，当 $n$ 很大时，$x^n$ 在 $x<1$ 时迅速衰减，主要贡献来自 $x$ 接近 $1$ 的区域。这提示我们可以使用分部积分法或变量替换来简化问题。
公式：无
提示：注意 $x^n$ 在 $n \to \infty$ 时的集中效应，这是处理此类极限的关键思路。
步骤 2/5
目标：应用分部积分法化简积分
令 $u = \ln(1+x)$，$dv = x^n dx$，则 $du = \frac{1}{1+x} dx$，$v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$。由分部积分公式：
$$
\int_0^1 x^n \ln(1+x) dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{1+x} dx
$$
代入上下限：当 $x=1$ 时，值为 $\frac{\ln 2}{n+1}$；当 $x=0$ 时，值为 $0$。因此：
$$
\int_0^1 x^n \ln(1+x) dx = \frac{\ln 2}{n+1} - \frac{1}{n+1} \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx
$$
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：分部积分时，注意 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处为 $0$，简化了边界项的计算。
步骤 3/5
目标：将分部积分结果代入原极限并拆分
原极限为：
$$
L = \lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^n \ln(1+x) dx = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n \ln 2}{n+1} - \frac{n}{n+1} \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx \right)
$$
第一部分极限：$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \ln 2 = \ln 2$。第二部分中，$\frac{n}{n+1} \to 1$，因此只需考虑 $\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx$ 的极限。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$
提示：拆分极限时，要确保各部分极限存在，这里第一部分直接收敛，第二部分需进一步处理。
步骤 4/5
目标：估计剩余积分的极限
考虑积分 $\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx$。由于 $0 \le x \le 1$ 时，$\frac{1}{1+x} \le 1$，因此：
$$
0 \le \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx \le \int_0^1 x^{n+1} dx = \frac{1}{n+2}
$$
由夹逼定理，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n+2} \to 0$，故该积分极限为 $0$。
公式：夹逼定理：$0 \le \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} dx \le \frac{1}{n+2} \to 0$
提示：注意 $\frac{1}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值是 $1$，这是放缩的关键。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
由前两步结果：
$$
L = \ln 2 - 0 = \ln 2
$$
因此，所求极限为 $\ln 2$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n \int_0^1 x^n \ln(1+x) dx = \ln 2$
提示：最终答案需化简为最简形式，$\ln 2$ 即为结果。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此
\[
L = \ln 2 - 0 = \ln 2
\]
提示：最终答案是一个简洁的对数形式，注意检查是否有遗漏项。
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