吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．设 $u, v$ 是由 $\left\{\begin{array}{l}u^{2}-v=3 x+y \\ u-2 v^{2}=x-2 y\end{array}\right.$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对第一个方程关于 x 求偏导
给定方程 $u^2 - v = 3x + y$，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求偏导：
\[
2u \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial x} = 3
\]
记作 (1) 式。
公式：2u \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial x} = 3
提示：注意 $u$ 和 $v$ 都是 $x,y$ 的函数，求导时需使用链式法则。
步骤 2/6
目标：对第二个方程关于 x 求偏导
给定方程 $u - 2v^2 = x - 2y$，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求偏导：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} - 4v \frac{\partial v}{\partial x} = 1
\]
记作 (2) 式。
公式：\frac{\partial u}{\partial x} - 4v \frac{\partial v}{\partial x} = 1
提示：注意 $v^2$ 对 $x$ 的导数为 $2v \frac{\partial v}{\partial x}$，乘以系数 $-2$ 得 $-4v \frac{\partial v}{\partial x}$。
步骤 3/6
目标：联立 (1) 和 (2) 解出 ∂u/∂x
由 (1) 得 $\frac{\partial v}{\partial x} = 2u \frac{\partial u}{\partial x} - 3$，代入 (2)：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} - 4v(2u \frac{\partial u}{\partial x} - 3) = 1
\]
化简：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} - 8uv \frac{\partial u}{\partial x} + 12v = 1
\]
\[
(1 - 8uv) \frac{\partial u}{\partial x} = 1 - 12v
\]
因此：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1 - 12v}{1 - 8uv}
\]
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1 - 12v}{1 - 8uv}
提示：解线性方程组时，注意消元顺序，避免符号错误。分母 $1-8uv$ 可能为零，需单独讨论。
步骤 4/6
目标：对第一个方程关于 y 求偏导
给定方程 $u^2 - v = 3x + y$，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导：
\[
2u \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial y} = 1
\]
记作 (3) 式。
公式：2u \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial y} = 1
提示：注意右边 $3x+y$ 对 $y$ 的导数为 $1$。
步骤 5/6
目标：对第二个方程关于 y 求偏导
给定方程 $u - 2v^2 = x - 2y$，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导：
\[
\frac{\partial u}{\partial y} - 4v \frac{\partial v}{\partial y} = -2
\]
记作 (4) 式。
公式：\frac{\partial u}{\partial y} - 4v \frac{\partial v}{\partial y} = -2
提示：注意右边 $x-2y$ 对 $y$ 的导数为 $-2$。
步骤 6/6
目标：联立 (3) 和 (4) 解出 ∂v/∂y
由 (3) 得 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1 + \frac{\partial v}{\partial y}}{2u}$，代入 (4)：
\[
\frac{1 + \frac{\partial v}{\partial y}}{2u} - 4v \frac{\partial v}{\partial y} = -2
\]
两边乘以 $2u$：
\[
1 + \frac{\partial v}{\partial y} - 8uv \frac{\partial v}{\partial y} = -4u
\]
整理：
\[
\frac{\partial v}{\partial y} - 8uv \frac{\partial v}{\partial y} = -4u - 1
\]
\[
(1 - 8uv) \frac{\partial v}{\partial y} = -4u - 1
\]
因此：
\[
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{-4u - 1}{1 - 8uv} = -\frac{4u + 1}{1 - 8uv}
\]
公式：\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{4u + 1}{1 - 8uv}
提示：代入时注意分母 $2u$ 不能为零，且最终结果可化简为负分式形式。
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