吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．计算 $\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $D$ 是两个球 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2} \leq R^{2}$ 的公共部分。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析区域并确定积分限
两个球分别为：
1. 球心在原点，半径R：\(x^2+y^2+z^2 \le R^2\)
2. 球心在(0,0,R)，半径R：\(x^2+y^2+(z-R)^2 \le R^2\)
展开第二个球：\(x^2+y^2+z^2-2Rz+R^2 \le R^2\)，即\(x^2+y^2+z^2 \le 2Rz\)。
联立两球方程求交线：\(x^2+y^2+z^2=R^2\)与\(x^2+y^2+z^2=2Rz\)相减得\(R^2=2Rz\)，即\(z=R/2\)。
公共部分在z方向分为两段：
- 当\(0 \le z \le R/2\)时，截面半径由第二个球决定：\(r^2=2Rz-z^2\)；
- 当\(R/2 \le z \le R\)时，截面半径由第一个球决定：\(r^2=R^2-z^2\)。
公式：交线平面：\(z=R/2\)
提示：注意两个球相交的透镜区域关于平面\(z=R/2\)对称，分段时不要混淆上下边界。
步骤 2/4
目标：采用柱坐标并写出积分表达式
令\(x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\)，则\(x^2+y^2+z^2=r^2+z^2\)，体积元\(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z\)。
积分区域：
- \(0 \le z \le R/2\)，\(0 \le r \le \sqrt{2Rz-z^2}\)；
- \(R/2 \le z \le R\)，\(0 \le r \le \sqrt{R^2-z^2}\)；
- \(\theta\)从0到\(2\pi\)。
积分：
\[I=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\left[\int_0^{R/2}\int_0^{\sqrt{2Rz-z^2}}(r^2+z^2)r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}z+\int_{R/2}^{R}\int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}(r^2+z^2)r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}z\right]\]
公式：柱坐标变换：\(x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta\)
提示：注意柱坐标下\(r\)的积分上限要随z变化，且被积函数中的\(r^2\)来自\(x^2+y^2\)。
步骤 3/4
目标：计算对r的积分
内层积分：\(\int_0^a (r^2+z^2)r\,\mathrm{d}r = \int_0^a (r^3+z^2 r)\mathrm{d}r = \frac{a^4}{4}+\frac{z^2 a^2}{2}\)。
第一段：\(a^2=2Rz-z^2\)，则\(a^4=(2Rz-z^2)^2=4R^2z^2-4Rz^3+z^4\)，
\[\frac{a^4}{4}=R^2z^2-Rz^3+\frac{z^4}{4},\quad \frac{z^2 a^2}{2}=Rz^3-\frac{z^4}{2}\]
相加得：\(R^2z^2-\frac{z^4}{4}\)。
第二段：\(a^2=R^2-z^2\)，则\(a^4=(R^2-z^2)^2=R^4-2R^2z^2+z^4\)，
\[\frac{a^4}{4}=\frac{R^4}{4}-\frac{R^2z^2}{2}+\frac{z^4}{4},\quad \frac{z^2 a^2}{2}=\frac{R^2z^2}{2}-\frac{z^4}{2}\]
相加得：\(\frac{R^4}{4}-\frac{z^4}{4}\)。
公式：\[\int_0^a (r^2+z^2)r\,\mathrm{d}r = \frac{a^4}{4}+\frac{z^2 a^2}{2}\]
提示：计算\(a^4\)时注意展开不要出错，合并同类项要仔细。
步骤 4/4
目标：对z积分并合并结果
第一段：\(\int_0^{R/2}\left(R^2z^2-\frac{z^4}{4}\right)\mathrm{d}z = R^2\cdot\frac{(R/2)^3}{3} - \frac{1}{4}\cdot\frac{(R/2)^5}{5} = \frac{R^5}{24} - \frac{R^5}{640} = \frac{77R^5}{1920}\)。
第二段：\(\int_{R/2}^{R}\left(\frac{R^4}{4}-\frac{z^4}{4}\right)\mathrm{d}z = \frac{R^4}{4}\cdot\frac{R}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{R^5-(R/2)^5}{5} = \frac{R^5}{8} - \frac{31R^5}{640} = \frac{49R^5}{640}\)。
两段相加：\(\frac{77R^5}{1920}+\frac{49R^5}{640}=\frac{77R^5}{1920}+\frac{147R^5}{1920}=\frac{224R^5}{1920}=\frac{7R^5}{60}\)。
乘以\(2\pi\)得：\(I=2\pi\cdot\frac{7R^5}{60}=\frac{7\pi}{30}R^5\)。
公式：\[I = \frac{7\pi}{30}R^5\]
提示：通分时注意分母统一为1920，最后结果约分要彻底。
步骤 5/6
目标：计算第二部分积分（$z\in[R/2,R]$）
代入$\rho_{\max}^2=2Rz-z^2$，得$\frac{(2Rz-z^2)^2}{4}+\frac{z^2(2Rz-z^2)}{2}=R^2z^2-\frac{z^4}{4}$。于是$I_2=2\pi\int_{R/2}^{R}\left(R^2z^2-\frac{z^4}{4}\right)\,\mathrm{d}z$。计算：$\int_{R/2}^{R}R^2z^2\,\mathrm{d}z = \frac{7R^5}{24}$，$\int_{R/2}^{R}\frac{z^4}{4}\,\mathrm{d}z = \frac{31R^5}{640}$，相减得$\frac{7R^5}{24}-\frac{31R^5}{640}=\frac{559R^5}{1920}$，乘以$2\pi$得$I_2=\frac{559\pi R^5}{960}$。
公式：$I_2 = \frac{559\pi R^5}{960}$
提示：注意$\int_{R/2}^{R}z^4\,\mathrm{d}z = \frac{R^5}{5}\left(1-\frac{1}{32}\right)=\frac{31R^5}{160}$，再除以4得$\frac{31R^5}{640}$。
步骤 6/6
目标：合并两部分得到最终结果
总积分$I=I_1+I_2=\frac{207\pi R^5}{320}+\frac{559\pi R^5}{960}$。通分分母960：$\frac{207\pi R^5}{320}=\frac{621\pi R^5}{960}$，相加得$\frac{(621+559)\pi R^5}{960}=\frac{1180\pi R^5}{960}=\frac{59\pi R^5}{48}$。
公式：$\iiint_D (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{59\pi R^5}{48}$
提示：最终结果可化简为$\frac{59}{48}\pi R^5$，注意检查分数约分是否正确。
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