吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．计算第二型曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x+(1-x) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，方向取顺时针．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：观察被积函数的分母，确定奇点位置
被积函数为 $\frac{y}{(x-1)^2+y^2}$ 和 $\frac{1-x}{(x-1)^2+y^2}$，分母 $(x-1)^2+y^2$ 在点 $(1,0)$ 处为零。由于圆周 $x^2+y^2=4$ 的半径为 $2$，而 $1^2+0^2=1<4$，故奇点 $(1,0)$ 位于曲线 $L$ 所围成的区域内部。
公式：$(x-1)^2+y^2=0 \Rightarrow (1,0)$
提示：注意奇点是否在积分路径内部，这决定了能否直接使用格林公式。
步骤 2/7
目标：分析方向与格林公式的适用条件
曲线 $L$ 方向为顺时针，而格林公式要求边界取逆时针方向。此外，由于奇点在区域内，不能直接对整个内部区域应用格林公式。需要挖掉奇点周围的一个小圆，构造一个无奇点的环形区域。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$
提示：顺时针方向相当于逆时针方向的负值，即 $\int_L = -\int_{L^-}$。
步骤 3/7
目标：构造辅助小圆并确定方向
取充分小的 $\varepsilon>0$，作小圆周 $C_\varepsilon: (x-1)^2+y^2 = \varepsilon^2$，方向取逆时针。将 $L$ 反向得到逆时针的大圆 $L^-$，则 $L^-$ 和 $C_\varepsilon$ 共同围成一个不包含奇点的环形区域。
公式：$C_\varepsilon: (x-1)^2+y^2 = \varepsilon^2$，方向逆时针
提示：小圆的半径 $\varepsilon$ 要足够小，使得整个小圆完全位于大圆内部。
步骤 4/7
目标：在环形区域应用格林公式，计算偏导数
设 $P = \frac{y}{(x-1)^2+y^2}$，$Q = \frac{1-x}{(x-1)^2+y^2}$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(x-1)^2 - y^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x-1)^2 - y^2}{((x-1)^2+y^2)^2}$$
因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。由格林公式，在环形区域上有：
$$\oint_{L^- + C_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy = 0$$
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$
提示：偏导数计算要仔细，注意 $1-x = -(x-1)$ 的化简。
步骤 5/7
目标：转换回原方向，将积分转化为小圆上的积分
由环路积分为零得 $\int_{L^-} P\,dx+Q\,dy = -\int_{C_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy$。原曲线 $L$ 为顺时针，故 $\int_L = -\int_{L^-}$。代入得：
$$\int_L P\,dx+Q\,dy = -\left(-\int_{C_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy\right) = \int_{C_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy$$
公式：$\int_L = \int_{C_\varepsilon}$
提示：注意符号的两次反转：一次是 $L$ 与 $L^-$ 的方向相反，一次是 $L^-$ 与 $C_\varepsilon$ 的环路和为零。
步骤 6/7
目标：参数化小圆并计算积分
在 $C_\varepsilon$ 上取逆时针参数化：$x = 1 + \varepsilon\cos\theta$，$y = \varepsilon\sin\theta$，$\theta: 0 \to 2\pi$。则 $dx = -\varepsilon\sin\theta\,d\theta$，$dy = \varepsilon\cos\theta\,d\theta$，分母 $(x-1)^2+y^2 = \varepsilon^2$。被积表达式为：
$$\frac{y\,dx+(1-x)\,dy}{\varepsilon^2} = \frac{-\varepsilon^2\sin^2\theta\,d\theta - \varepsilon^2\cos^2\theta\,d\theta}{\varepsilon^2} = -\,d\theta$$
沿 $C_\varepsilon$ 逆时针积分得：
$$\int_{C_\varepsilon} P\,dx+Q\,dy = \int_0^{2\pi} (-\,d\theta) = -2\pi$$
公式：$\int_{C_\varepsilon} = -2\pi$
提示：参数化时注意 $1-x = -\varepsilon\cos\theta$，不要遗漏负号。
步骤 7/7
目标：得出原积分结果
由 $\int_L = \int_{C_\varepsilon} = -2\pi$，故原第二型曲线积分的值为 $-2\pi$。
公式：$\boxed{-2\pi}$
提示：最终答案是一个常数，与 $\varepsilon$ 无关，验证了结果的正确性。
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