吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．当 $\displaystyle x, y, z$ 都大于 0 时，求 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：问题转化
由于 $u = \ln x + 2\ln y + 3\ln z = \ln(x y^2 z^3)$，且对数函数单调递增，因此最大化 $u$ 等价于最大化 $f(x,y,z) = x y^2 z^3$，约束条件为 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$，且 $x>0, y>0, z>0$。
公式：u = \ln(x y^2 z^3)
提示：注意对数性质的应用，将和转化为乘积的对数，简化问题。
步骤 2/6
目标：构造拉格朗日函数
引入拉格朗日乘数 $\lambda$，构造辅助函数 $F(x,y,z,\lambda) = x y^2 z^3 - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 6)$。
公式：F(x,y,z,\lambda) = x y^2 z^3 - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 6)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束的极值问题，注意目标函数和约束条件的形式。
步骤 3/6
目标：求偏导并令其为零
对 $x, y, z, \lambda$ 分别求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = y^2 z^3 - 2\lambda x = 0$，
$\frac{\partial F}{\partial y} = 2x y z^3 - 2\lambda y = 0$，
$\frac{\partial F}{\partial z} = 3x y^2 z^2 - 2\lambda z = 0$，
$\frac{\partial F}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 + z^2 - 6) = 0$。
公式：\begin{cases} y^2 z^3 = 2\lambda x \\ 2x y z^3 = 2\lambda y \\ 3x y^2 z^2 = 2\lambda z \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6 \end{cases}
提示：求偏导时注意链式法则，并利用 $x,y,z>0$ 简化方程。
步骤 4/6
目标：解方程组得到变量关系
由第二个方程得 $\lambda = x z^3$（因为 $y>0$，可约去 $y$）。代入第一个方程得 $y^2 z^3 = 2x^2 z^3$，即 $y^2 = 2x^2$，所以 $y = \sqrt{2}x$。代入第三个方程得 $3x y^2 z = 2x z^3$，约去 $x>0$ 得 $3y^2 z = 2z^3$，即 $3y^2 = 2z^2$，代入 $y^2 = 2x^2$ 得 $z^2 = 3x^2$，所以 $z = \sqrt{3}x$。
公式：y = \sqrt{2}x, \quad z = \sqrt{3}x
提示：注意在方程中约去正数因子时要确保不为零，并保持正数解。
步骤 5/6
目标：代入约束条件求具体值
将 $y = \sqrt{2}x$ 和 $z = \sqrt{3}x$ 代入 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$，得 $x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 6x^2 = 6$，所以 $x^2 = 1$，即 $x = 1$（正数）。进而 $y = \sqrt{2}$，$z = \sqrt{3}$。
公式：x = 1, \quad y = \sqrt{2}, \quad z = \sqrt{3}
提示：注意开方时取正根，因为 $x,y,z>0$。
步骤 6/6
目标：计算最大值
先计算 $f = x y^2 z^3 = 1 \cdot (\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{3})^3 = 1 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，则 $u = \ln(6\sqrt{3}) = \ln 6 + \frac{1}{2}\ln 3$。由于该点是唯一驻点，且当变量趋于0时 $u$ 趋于负无穷，故该点为最大值点。
公式：u_{\max} = \ln 6 + \frac{1}{2}\ln 3
提示：最终结果需用对数表示，注意化简。
步骤 7/7
目标：计算最大值
将 $x=1, y=\sqrt{2}, z=\sqrt{3}$ 代入 $u$：
$$ u = \ln 1 + 2\ln\sqrt{2} + 3\ln\sqrt{3} = 0 + \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3 = \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3. $$
由于函数在边界（坐标轴）上趋于负无穷，该驻点给出最大值。
公式：u = \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3
提示：注意 $\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$。
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