吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．讨论参数 $p$ 对广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性影响，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分在无穷远处的敛散性
当 $x \to +\infty$ 时，$x - \frac{1}{x} \sim x$，被积函数近似为 $\frac{\cos x}{x^p}$。考虑积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^p} dx$：
- 若 $p>1$，则 $\left|\frac{\cos x}{x^p}\right| \le \frac{1}{x^p}$，绝对收敛；
- 若 $0
公式：\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \, dx \text{ 在 } p>1 \text{ 绝对收敛，} 0
提示：注意相位修正项 $-1/x$ 不影响渐近行为，因为 $\cos(x-1/x) = \cos x \cos(1/x) + \sin x \sin(1/x)$，且 $\cos(1/x)\to 1$，$\sin(1/x)\to 0$，故主项仍为 $\cos x/x^p$。
步骤 2/4
目标：分析积分在原点附近的敛散性
当 $x \to 0^+$ 时，$x - \frac{1}{x} \sim -\frac{1}{x}$，故 $\cos(x-1/x) \sim \cos(1/x)$。考虑积分 $\int_0^1 \frac{\cos(1/x)}{x^p} dx$，作代换 $t=1/x$，则 $x=1/t$，$dx = -dt/t^2$，积分化为 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{2-p}} dt$。
- 当 $2-p > 1$ 即 $p<1$ 时，指数 $>1$，绝对收敛；
- 当 $0 < 2-p \le 1$ 即 $1 \le p < 2$ 时，条件收敛；
- 当 $2-p \le 0$ 即 $p \ge 2$ 时，发散。
公式：\int_0^1 \frac{\cos(1/x)}{x^p} dx \sim \int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{2-p}} dt \text{ 在 } p<1 \text{ 绝对收敛，} 1\le p<2 \text{ 条件收敛，} p\ge 2 \text{ 发散}
提示：代换后注意积分限变化，且 $\cos(1/x)$ 的振荡在 $x\to 0$ 时剧烈，但通过变量替换转化为无穷远处的振荡积分，便于分析。
步骤 3/4
目标：综合两部分，确定整体收敛性
整个积分 $\int_0^{+\infty}$ 收敛需两端同时收敛。
- 绝对收敛：需 $p>1$（无穷远）且 $p<1$（原点），不可能，故无绝对收敛的 $p$。
- 条件收敛：
- 无穷远处条件收敛范围：$0
公式：\text{整体收敛当且仅当 } 0
提示：注意“绝对收敛+条件收敛”整体仍为条件收敛，因为绝对收敛部分不影响整体的条件收敛性。
步骤 4/4
目标：给出最终结论
综合以上分析：
- 当 $0 < p < 2$ 时，积分条件收敛；
- 当 $p \le 0$ 或 $p \ge 2$ 时，积分发散；
- 不存在使积分绝对收敛的 $p$。
公式：\boxed{\text{条件收敛：}0
提示：边界点 $p=0$ 和 $p=2$ 需单独验证：$p=0$ 时被积函数 $\cos(x-1/x)$ 不趋于 0，发散；$p=2$ 时原点附近等价于 $\int \cos t / t^0 dt$ 发散。
步骤 5/5
目标：给出最终结论
综合以上分析：
- 当 $0 < p < 2$ 时，积分条件收敛；
- 当 $p \leq 0$ 或 $p \geq 2$ 时，积分发散；
- 不存在使积分绝对收敛的 $p$。
公式：\text{敛散性结论}
提示：注意边界点 $p=0$ 和 $p=2$ 均发散。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述：当 $p\le 0$ 或 $p\ge 2$ 时，积分发散；当 $0
提示：注意 $p$ 的范围是实数。
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