吉林大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n-1)}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ 的和．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察通项结构并进行部分分式分解
通项为 $a_n = \frac{1}{n(2n-1)} \left(-\frac14\right)^n$。将 $\frac{1}{n(2n-1)}$ 分解为部分分式：设 $\frac{1}{n(2n-1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{2n-1}$，两边乘以 $n(2n-1)$ 得 $1 = A(2n-1) + B n$。比较系数：常数项 $-A = 1 \Rightarrow A = -1$；$n$ 的系数 $2A + B = 0 \Rightarrow -2 + B = 0 \Rightarrow B = 2$。因此 $\frac{1}{n(2n-1)} = -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1}$。
公式：\frac{1}{n(2n-1)} = -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1}
提示：注意部分分式分解时，分母为线性因子，设待定系数后比较系数即可，避免计算错误。
步骤 2/5
目标：将原级数拆分为两个级数
原级数 $S = \sum_{n=1}^\infty \left( -\frac{1}{n} + \frac{2}{2n-1} \right) \left(-\frac14\right)^n = -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\frac14\right)^n + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}\left(-\frac14\right)^n$。记 $S_1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\frac14\right)^n$，$S_2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}\left(-\frac14\right)^n$，则 $S = -S_1 + 2S_2$。
公式：S = -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\frac14\right)^n + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}\left(-\frac14\right)^n
提示：拆分后注意系数符号，避免遗漏因子。
步骤 3/5
目标：计算第一个级数 $S_1$
利用标准对数级数公式 $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，其中 $|x|<1$。令 $x = -\frac14$，则 $S_1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\frac14\right)^n = -\ln\left(1 - \left(-\frac14\right)\right) = -\ln\left(1 + \frac14\right) = -\ln\frac54$。因此 $-S_1 = \ln\frac54$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x),\quad S_1 = -\ln\frac54
提示：注意 $\ln(1-x)$ 的展开式中 $x$ 可正可负，但需满足 $|x|<1$，此处 $x=-1/4$ 符合条件。
步骤 4/5
目标：处理第二个级数 $S_2$ 并转化为反正切级数
将 $S_2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}\left(-\frac14\right)^n$ 改写为 $S_2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} \cdot \frac{1}{4^n}$。注意到 $\frac{1}{4^n} = \frac{1}{2^{2n}} = \frac12 \cdot \frac{1}{2^{2n-1}}$，所以 $S_2 = \frac12 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} \left(\frac12\right)^{2n-1}$。利用反正切级数展开 $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$，即 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} x^{2n-1} = -\arctan x$（$|x|<1$）。令 $x = \frac12$，则 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} \left(\frac12\right)^{2n-1} = -\arctan\frac12$。因此 $S_2 = \frac12 \left(-\arctan\frac12\right) = -\frac12 \arctan\frac12$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1} x^{2n-1} = -\arctan x,\quad S_2 = -\frac12 \arctan\frac12
提示：注意级数指标从 $n=1$ 开始，与标准反正切级数（从 $n=0$ 开始）相差一项，但结果一致；同时注意系数 $1/2$ 的由来，避免遗漏。
步骤 5/5
目标：合并结果得到最终和
原级数 $S = -S_1 + 2S_2 = \ln\frac54 + 2 \left(-\frac12 \arctan\frac12\right) = \ln\frac54 - \arctan\frac12$。
公式：S = \ln\frac54 - \arctan\frac12
提示：最终结果需化简，注意 $\ln\frac54$ 不能再简化，$\arctan\frac12$ 保留反三角函数形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。