同济大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{f}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 是 $\displaystyle C^{r}$ 映射（ $\displaystyle r \geq 1$ ），若 $\displaystyle \mathbf{f}$ 的 Jacobi 行列式在 $\displaystyle \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 处不为零，证明：存在点 $\displaystyle \mathbf{x}$ 的开邻域 $U$ 和实数 $\displaystyle \omega>0$ ，使得
$$
\left\|f\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)-f\left(\mathbf{x}^{\prime \prime}\right)\right\| \geq \omega\left\|\mathbf{x}^{\prime}-\mathbf{x}^{\prime \prime}\right\|, \forall \mathbf{x}^{\prime}, \mathbf{x}^{\prime \prime} \in U .
$$
这里 $\displaystyle \|\cdot\|$ 为向量的 $\displaystyle 2-$ 范数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解条件和目标，明确要证明的结论
已知 $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是 $C^r$ 映射（$r \ge 1$），在点 $\mathbf{x}$ 处 Jacobi 行列式 $\det D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \neq 0$。需要证明存在 $\mathbf{x}$ 的开邻域 $U$ 和 $\omega > 0$，使得对任意 $\mathbf{x}', \mathbf{x}'' \in U$，有 $\|\mathbf{f}(\mathbf{x}') - \mathbf{f}(\mathbf{x}'')\| \ge \omega \|\mathbf{x}' - \mathbf{x}''\|$。
提示：注意范数取欧几里得范数，结论表明映射在局部是扩张的。
步骤 2/5
目标：利用可逆线性映射的性质得到导数的下界
由于 $\det D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \neq 0$，线性映射 $D\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 可逆。存在常数 $c > 0$ 使得对所有 $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^n$，有 $\| D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \mathbf{h} \| \ge c \|\mathbf{h}\|$。具体可取 $c = \frac{1}{\| (D\mathbf{f}(\mathbf{x}))^{-1} \|}$，其中范数为算子范数（诱导的2-范数）。
公式：\| D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \mathbf{h} \| \ge c \|\mathbf{h}\|, \quad \forall \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n
提示：可逆线性映射的最小放大倍数等于其逆的算子范数的倒数。
步骤 3/5
目标：利用导数的连续性得到局部一致下界
因为 $\mathbf{f}$ 是 $C^1$ 映射，$D\mathbf{f}$ 在 $\mathbf{x}$ 处连续。存在开邻域 $U_0$ 使得对所有 $\mathbf{y} \in U_0$，有 $\| D\mathbf{f}(\mathbf{y}) - D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \| < \frac{c}{2}$。于是对任意 $\mathbf{y} \in U_0$ 和任意 $\mathbf{h}$，有
\[
\| D\mathbf{f}(\mathbf{y}) \mathbf{h} \| \ge \| D\mathbf{f}(\mathbf{x}) \mathbf{h} \| - \| (D\mathbf{f}(\mathbf{y}) - D\mathbf{f}(\mathbf{x})) \mathbf{h} \| \ge c \|\mathbf{h}\| - \frac{c}{2} \|\mathbf{h}\| = \frac{c}{2} \|\mathbf{h}\|.
\]
公式：\| D\mathbf{f}(\mathbf{y}) \mathbf{h} \| \ge \frac{c}{2} \|\mathbf{h}\|, \quad \forall \mathbf{y} \in U_0, \forall \mathbf{h} \in \mathbb{R}^n
提示：这里使用了算子范数的三角不等式和连续性，注意 $c/2$ 是严格正数。
步骤 4/5
目标：取凸邻域并应用中值定理得到函数值的下界
取 $U$ 为 $U_0$ 中包含 $\mathbf{x}$ 的一个凸开邻域（例如以 $\mathbf{x}$ 为中心的小球）。对任意 $\mathbf{x}', \mathbf{x}'' \in U$，连接它们的线段完全在 $U$ 内。由向量值函数的中值定理（积分形式），有
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}') - \mathbf{f}(\mathbf{x}'') = \int_0^1 D\mathbf{f}(\mathbf{x}'' + t(\mathbf{x}' - \mathbf{x}'')) (\mathbf{x}' - \mathbf{x}'') \, dt.
\]
取范数并利用每点处导数的一致下界，得
\[
\|\mathbf{f}(\mathbf{x}') - \mathbf{f}(\mathbf{x}'')\| \ge \frac{c}{2} \|\mathbf{x}' - \mathbf{x}''\|.
\]
公式：\|\mathbf{f}(\mathbf{x}') - \mathbf{f}(\mathbf{x}'')\| \ge \frac{c}{2} \|\mathbf{x}' - \mathbf{x}''\|
提示：中值定理要求路径上的点都在邻域内，因此凸性是关键；积分范数下界由被积函数的逐点下界得到。
步骤 5/5
目标：总结结论
取 $\omega = \frac{c}{2} > 0$，则对任意 $\mathbf{x}', \mathbf{x}'' \in U$，有 $\|\mathbf{f}(\mathbf{x}') - \mathbf{f}(\mathbf{x}'')\| \ge \omega \|\mathbf{x}' - \mathbf{x}''\|$，证明完成。
提示：注意 $\omega$ 依赖于 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{f}$，但一旦选定邻域 $U$ 后即为常数。
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