哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2．证明极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)
$$
存在．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助数列
记 \( a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n \)，要证明极限存在，即证明数列 \(\{a_n\}\) 单调递减且有下界。
公式：a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n
提示：注意数列的定义中减去的是 \(\ln n\)，而不是 \(\ln(n+1)\)，后续放缩时要保持一致。
步骤 2/5
目标：证明单调性
考虑相邻两项的差：
\[
a_{n+1} - a_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} - \ln(n+1)\right) - \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right) = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
\]
公式：a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
提示：化简时注意 \(\ln(n+1)-\ln n = \ln(1+1/n)\)，不要写错对数运算。
步骤 3/5
目标：利用不等式判断差值的符号
利用常见不等式：当 \(x > -1\) 时，\(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\)。令 \(x = \frac{1}{n}\)，得 \(\frac{1}{n+1} < \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}\)。因此 \(\frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 0\)，即 \(a_{n+1} - a_n < 0\)，数列严格单调递减。
公式：\frac{1}{n+1} < \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}
提示：不等式方向要记牢：\(\ln(1+x)\) 介于 \(\frac{x}{1+x}\) 和 \(x\) 之间，常用于放缩。
步骤 4/5
目标：证明有下界
利用积分放缩：函数 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 在 \([k, k+1]\) 上递减，故 \(\int_k^{k+1} \frac{1}{x} \,dx < \frac{1}{k}\)。对 \(k=1,2,\dots,n\) 求和得 \(\int_1^{n+1} \frac{1}{x} \,dx < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\)，即 \(\ln(n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\)。于是 \(a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n > \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 0\)，数列有下界 \(0\)。
公式：\ln(n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \quad \Rightarrow \quad a_n > \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 0
提示：积分放缩时注意区间端点：\(\int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx\) 对应的是 \(\frac{1}{k}\) 的放缩，不要混淆求和与积分的上下限。
步骤 5/5
目标：由单调有界定理得极限存在
数列 \(\{a_n\}\) 单调递减且有下界，根据单调有界定理，极限存在。该极限称为欧拉常数，记作 \(\gamma\)，约等于 \(0.5772\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right) = \gamma
提示：单调有界定理是证明数列极限存在的常用方法，注意前提是数列必须同时满足单调和有界两个条件。
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