哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
3．证明
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x
$$
收玫，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解积分区间
将积分区间 $[1, +\infty)$ 分解为整数区间 $[n, n+1)$，其中 $n$ 为正整数。在区间 $[n, n+1)$ 上，$[x] = n$，因此原积分化为级数形式：
$$
\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x}\right) dx.
$$
提示：注意区间端点：$x=n$ 时 $[x]=n$，$x=n+1$ 时 $[x]=n+1$，但积分区间是左闭右开，不影响积分值。
步骤 2/6
目标：计算每个区间上的积分
计算每个小区间上的积分：
$$
\int_{n}^{n+1} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{1}{n} \cdot 1 - \left[\ln x\right]_{n}^{n+1} = \frac{1}{n} - \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right).
$$
公式：$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$
提示：注意积分上下限：$\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \ln(n+1) - \ln n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。
步骤 3/6
目标：将积分转化为级数
原积分收敛当且仅当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，其中 $a_n = \frac{1}{n} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。
提示：由于被积函数非负，积分与级数等价。
步骤 4/6
目标：估计通项的量级
利用 $\ln(1+t)$ 的泰勒展开：当 $t \to 0$ 时，$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$。令 $t = \frac{1}{n}$，则
$$
a_n = \frac{1}{n} - \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right).
$$
因此 $a_n \sim \frac{1}{2n^2}$ 当 $n \to \infty$。
公式：$$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \cdots$$
提示：注意展开到二阶项即可，高阶项不影响收敛性。
步骤 5/6
目标：应用比较判别法
由于 $a_n$ 为正项级数，且 $a_n \sim \frac{1}{2n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$），由比较判别法知级数 $\sum a_n$ 收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p>1$$
提示：比较判别法要求通项非负，且极限形式下比较。
步骤 6/6
目标：得出结论
因为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，所以原积分 $\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) dx$ 收敛。
提示：积分收敛意味着其值为有限数。
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