哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2．求函数
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造拉格朗日函数
对于约束优化问题，求函数 $u=x-2y+2z$ 在约束 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的极值，引入拉格朗日乘数 $\lambda$，构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,z,\lambda)=x-2y+2z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)$$
公式：拉格朗日函数：$L=f+\lambda g$
提示：注意约束条件要写成 $g(x,y,z)=0$ 的形式，这里 $g=x^2+y^2+z^2-1$。
步骤 2/7
目标：求偏导数并令为零
对 $L$ 分别求关于 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，并令其等于零，得到方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x}=1+2\lambda x=0 \\
\frac{\partial L}{\partial y}=-2+2\lambda y=0 \\
\frac{\partial L}{\partial z}=2+2\lambda z=0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-1=0
\end{cases}
$$
公式：偏导数为零的条件：$\nabla f + \lambda \nabla g = 0$
提示：注意每个偏导数的计算要准确，特别是符号。
步骤 3/7
目标：解出 $x,y,z$ 用 $\lambda$ 表示
由前三个方程分别解出 $x,y,z$：
从 $1+2\lambda x=0$ 得 $x=-\frac{1}{2\lambda}$；
从 $-2+2\lambda y=0$ 得 $y=\frac{1}{\lambda}$；
从 $2+2\lambda z=0$ 得 $z=-\frac{1}{\lambda}$。
提示：注意 $\lambda$ 不能为零，否则前三个方程矛盾。
步骤 4/7
目标：代入约束条件求 $\lambda$
将 $x,y,z$ 的表达式代入第四个方程 $x^2+y^2+z^2=1$：
$$\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^2+\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2+\left(-\frac{1}{\lambda}\right)^2=1$$
计算得：$\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda^2}=1$，即 $\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{2}{\lambda^2}=1$，合并得 $\frac{9}{4\lambda^2}=1$，所以 $\lambda^2=\frac{9}{4}$，即 $\lambda=\pm\frac{3}{2}$。
提示：计算平方和时注意各项系数，不要漏掉分母。
步骤 5/7
目标：求 $\lambda=\frac{3}{2}$ 时的驻点及函数值
当 $\lambda=\frac{3}{2}$ 时，代入得：
$x=-\frac{1}{2\cdot\frac{3}{2}}=-\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$，$z=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$。
此时函数值 $u=x-2y+2z=-\frac{1}{3}-2\cdot\frac{2}{3}+2\cdot(-\frac{2}{3})=-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=-3$。
提示：代入计算时注意符号，$2y$ 和 $2z$ 的系数。
步骤 6/7
目标：求 $\lambda=-\frac{3}{2}$ 时的驻点及函数值
当 $\lambda=-\frac{3}{2}$ 时，代入得：
$x=-\frac{1}{2\cdot(-\frac{3}{2})}=\frac{1}{3}$，$y=\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$，$z=-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$。
此时函数值 $u=x-2y+2z=\frac{1}{3}-2\cdot(-\frac{2}{3})+2\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=3$。
提示：注意 $\lambda$ 为负时，$x,y,z$ 的符号变化。
步骤 7/7
目标：比较得出最大值和最小值
由于约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 是闭集上的有界闭集，函数 $u$ 连续，因此最大值和最小值存在。比较两个驻点处的函数值：$u=-3$ 和 $u=3$，所以最大值为 $3$，最小值为 $-3$。
提示：注意拉格朗日乘数法只给出可能的极值点，需要根据实际问题判断最值。
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