哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题

幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 收敛意味着存在一个收敛半径 \(R\)（\(0 \leq R \leq \infty\)），使得当 \(|x| < R\) 时级数绝对收敛，当 \(|x| > R\) 时级数发散。当 \(R = 0\) 时，级数仅在 \(x=0\) 收敛；当 \(R = \infty\) 时，级数在整个实数轴（或复平面）上绝对收敛。

收敛半径 \(R\) 可通过根值判别法或比值判别法计算。根值法：\(\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\)。比值法：若极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) 存在，则 \(\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\)。注意，若极限为0，则 \(R = \infty\)；若极限为无穷大，则 \(R = 0\)。

由收敛半径 \(R\) 可得开区间 \((-R, R)\) 内级数绝对收敛。在端点 \(x = R\) 和 \(x = -R\) 处，级数可能收敛也可能发散，需要单独判断。例如，代入 \(x = R\) 后得到数项级数 \(\sum a_n R^n\)，利用比值判别法、根值判别法或比较判别法判断其收敛性。

在收敛区间内部，幂级数可以逐项求导和逐项积分，且求导或积分后的级数收敛半径不变。例如，逐项求导得 \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\)，逐项积分得 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\)。这些性质在求解微分方程或计算和函数时非常有用。

例如，考虑幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)。计算收敛半径：\(\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1/(n+1)!}{1/n!} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0\)，所以 \(R = \infty\)，级数在整个实数轴上绝对收敛，其和函数为 \(e^x\)。

幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的收敛性由收敛半径 \(R\) 刻画，收敛区间为 \((-R, R)\)（可能包含端点）。计算 \(R\) 常用根值法或比值法，端点需单独判断。在收敛区间内，幂级数具有良好的分析性质。