哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
2．计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $z \geqslant 0$ 部分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与方向，简化被积函数分母
曲面 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的上半部分（$z \geq 0$），取外侧方向。在 $\Sigma$ 上，$x^2+y^2+z^2=1$，因此分母 $\sqrt{x^2+y^2+z^2+3}=\sqrt{1+3}=2$ 为常数，可提到积分号外。原积分化为：
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+3}} = \frac12 \iint_{\Sigma} (x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy)
$$
公式：\sqrt{x^2+y^2+z^2+3}=2
提示：注意曲面方程代入后分母为常数，这是简化计算的关键。
步骤 2/5
目标：补面构造封闭曲面，应用高斯公式
由于 $\Sigma$ 不封闭，补上底面 $\Sigma_2$：$z=0$，$x^2+y^2 \leq 1$，取下侧（使与上半球面外侧构成封闭曲面的外侧）。记 $\Sigma_1=\Sigma$，则 $\Sigma_1 \cup \Sigma_2$ 为封闭曲面外侧。设向量场 $\mathbf{F}=(x,y,z)$，则散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}=1+1+1=3$。由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma_1 \cup \Sigma_2} (x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy) = \iiint_V 3 \,dV
$$
其中 $V$ 是上半球体：$x^2+y^2+z^2 \leq 1$，$z \geq 0$。
公式：\nabla \cdot \mathbf{F}=3
提示：补面时注意方向，必须与原有曲面构成封闭曲面的外侧。
步骤 3/5
目标：计算封闭曲面积分（高斯公式）
上半球体体积为半球体积：$V = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi$（半径 $r=1$）。因此三重积分结果为：
$$
\iiint_V 3 \,dV = 3 \times \frac{2}{3}\pi = 2\pi
$$
即
$$
\iint_{\Sigma_1 \cup \Sigma_2} (x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy) = 2\pi
$$
公式：\iiint_V 3 \,dV = 2\pi
提示：半球体积公式 $\frac{2}{3}\pi r^3$ 需牢记，注意 $r=1$。
步骤 4/5
目标：计算底面积分
在底面 $\Sigma_2$ 上，$z=0$，$dz=0$，且取下侧（法向量指向负 $z$ 方向）。对于第二类曲面积分，下侧时 $dx\,dy$ 的符号为负。由于 $z=0$，$x\,dy\,dz=0$，$y\,dz\,dx=0$，$z\,dx\,dy=0$，因此整个底面积分为 $0$：
$$
\iint_{\Sigma_2} (x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy) = 0
$$
公式：\iint_{\Sigma_2} \cdots = 0
提示：底面 $z=0$ 时，$dz=0$ 导致含 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 的项为零，而 $z=0$ 使 $z\,dx\,dy=0$，故整体为零。
步骤 5/5
目标：得到上半球面积分并乘回常数因子
由封闭曲面积分结果：
$$
\iint_{\Sigma_1} + \iint_{\Sigma_2} = 2\pi
$$
且 $\iint_{\Sigma_2}=0$，故
$$
\iint_{\Sigma_1} (x \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy) = 2\pi
$$
原积分需乘回因子 $\frac12$，得：
$$
\frac12 \times 2\pi = \pi
$$
公式：\frac12 \times 2\pi = \pi
提示：不要忘记之前提出的常数因子 $\frac12$。
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