哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
3．计算
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的部分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出曲线参数方程并确定起点终点
曲线 $\Gamma$ 的参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = \cos(2008\pi t), \\
y = \cos(2008\pi t), \\
z = t^{20090101} e^{t^2-1},
\end{cases}
\quad t \in [0,1].
$$
起点对应 $t=0$：$(x,y,z)=(1,1,0)$；终点对应 $t=1$：$(x,y,z)=(1,1,1)$。
提示：注意起点和终点坐标的对应关系，确保参数范围正确。
步骤 2/6
目标：利用x=y简化被积表达式
由于 $x=y$，故 $dx = dy$。被积表达式化为：
$$
yz\,dx + zx\,dy + xy\,dz = xz\,dx + xz\,dx + x^2\,dz = 2xz\,dx + x^2\,dz.
$$
提示：注意 $x=y$ 时 $dx=dy$，但不要忘记 $xy = x^2$。
步骤 3/6
目标：计算dx和dz的微分
由 $x = \cos(2008\pi t)$ 得 $dx = -2008\pi \sin(2008\pi t)\,dt$。
由 $z = t^{20090101} e^{t^2-1}$ 得
$$
dz = \left(20090101\,t^{20090100} e^{t^2-1} + t^{20090101} e^{t^2-1} \cdot 2t\right) dt = t^{20090100} e^{t^2-1} (20090101 + 2t^2)\,dt.
$$
公式：微分公式：$d(t^n)=n t^{n-1}dt$，$d(e^{u})=e^{u}du$
提示：求导时注意复合函数求导，$e^{t^2-1}$ 的导数为 $2t e^{t^2-1}$。
步骤 4/6
目标：代入积分并化简
代入得：
$$
I = \int_0^1 \left[ 2 \cos(2008\pi t) \cdot t^{20090101} e^{t^2-1} \cdot (-2008\pi \sin(2008\pi t)) + \cos^2(2008\pi t) \cdot t^{20090100} e^{t^2-1} (20090101 + 2t^2) \right] dt.
$$
第一项含有 $\sin(2008\pi t)\cos(2008\pi t) = \frac{1}{2}\sin(4016\pi t)$，在 $[0,1]$ 上积分为零（因为周期函数整周期积分为零）。第二项中 $\cos^2(2008\pi t) = \frac{1+\cos(4016\pi t)}{2}$，而 $\cos(4016\pi t)$ 在 $[0,1]$ 上积分为零，故 $\int_0^1 \cos^2(2008\pi t)\,dt = \frac{1}{2}$。因此
$$
I = \int_0^1 \frac{1}{2} \cdot t^{20090100} e^{t^2-1} (20090101 + 2t^2)\,dt.
$$
公式：三角恒等式：$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha$，$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}$
提示：注意整周期正弦、余弦积分为零的性质。
步骤 5/6
目标：识别被积函数为全微分形式
将积分写为：
$$
I = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{t^2-1} (20090101\,t^{20090100} + 2t^{20090102})\,dt.
$$
注意到
$$
\frac{d}{dt}\left( t^{20090101} e^{t^2-1} \right) = 20090101\,t^{20090100} e^{t^2-1} + t^{20090101} e^{t^2-1} \cdot 2t = e^{t^2-1}(20090101\,t^{20090100} + 2t^{20090102}).
$$
因此被积函数恰为这个导数的 $\frac{1}{2}$ 倍。
公式：乘积求导法则：$(uv)'=u'v+uv'$
提示：注意指数函数的导数与幂函数导数的组合。
步骤 6/6
目标：直接积分得到结果
所以
$$
I = \frac{1}{2} \int_0^1 d\left( t^{20090101} e^{t^2-1} \right) = \frac{1}{2} \left[ t^{20090101} e^{t^2-1} \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1 \cdot e^{0} - 0) = \frac{1}{2}.
$$
公式：牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$
提示：代入端点值时注意 $0^{20090101}=0$，$e^{0}=1$。
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