哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题

十．（15 分） 1 ．求 $\displaystyle f(x)$ 使曲线积分 $$ \int_{\overparen{A B}}(\sin x-f(x)) \frac{y}{x} \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y $$ 与路径无关，这里 $\displaystyle \widehat{A B}$ 不通过 $y$ 轴． 2．计算 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分． 3．计算 $$ \int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Gamma$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $\displaystyle (1,1,0)$ 到 $\displaystyle (1,1,1)$ 的部分．