哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
1.
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\sin x \leqslant 3|\cos \xi-\cos \eta|+\int_{0}^{1} \cos x \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算定积分
计算 $\int_0^1 \cos x \, dx = \sin x \big|_0^1 = \sin 1 - \sin 0 = \sin 1$。
公式：$\int \cos x \, dx = \sin x + C$
提示：注意积分上下限代入时，上限减下限。
步骤 2/7
目标：化简不等式
原不等式化为 $\sin x \leq 3|\cos \xi - \cos \eta| + \sin 1$。
提示：确保积分计算正确。
步骤 3/7
目标：分析余弦差的范围
由于 $\cos$ 函数的值域为 $[-1,1]$，所以 $|\cos \xi - \cos \eta| \leq 2$，且最小值 $0$（当 $\xi = \eta$ 时取到）。
公式：$|\cos \xi - \cos \eta| \leq 2$
提示：注意绝对值不等式。
步骤 4/7
目标：估计右侧表达式
右侧 $R = 3|\cos \xi - \cos \eta| + \sin 1$ 的取值范围为 $[\sin 1, 6+\sin 1]$，其中 $\sin 1 \approx 0.84$。
提示：右侧最小值出现在 $\xi = \eta$ 时。
步骤 5/7
目标：分析左侧正弦函数
$\sin x$ 的值域为 $[-1,1]$，最大值为 $1$。
公式：$\sin x \leq 1$
提示：注意 $x$ 为任意实数。
步骤 6/7
目标：判断不等式是否恒成立
当 $\xi = \eta$ 时，右侧 $R = \sin 1 \approx 0.84$，而左侧 $\sin x$ 可以取到 $1$（例如 $x = \pi/2$），此时 $1 \leq 0.84$ 不成立。因此不等式不一定成立。
提示：举反例时需具体说明。
步骤 7/7
目标：结论
原不等式不一定成立，除非对 $\xi, \eta$ 有额外限制（例如 $\xi, \eta$ 使得 $|\cos \xi - \cos \eta|$ 足够大）。
提示：注意题目可能隐含条件。
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