哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题

设 $I_1 = \int_0^1 e^x \sin x \, dx$，$I_2 = \int_0^1 e^x \cos x \, dx$。利用分部积分法或已知公式： $$\int e^x \sin x \, dx = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C$$ $$\int e^x \cos x \, dx = \frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2} + C$$ 代入上下限得： $$I_1 = \left. \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} \right|_0^1 = \frac{e(\sin 1 - \cos 1) - (0 - 1)}{2} = \frac{e(\sin 1 - \cos 1) + 1}{2}$$ $$I_2 = \left. \frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2} \right|_0^1 = \frac{e(\sin 1 + \cos 1) - (0 + 1)}{2} = \frac{e(\sin 1 + \cos 1) - 1}{2}$$

将 $I_1$ 和 $I_2$ 代入： $$9I_1 + 2I_2 = 9 \cdot \frac{e(\sin 1 - \cos 1) + 1}{2} + 2 \cdot \frac{e(\sin 1 + \cos 1) - 1}{2}$$ $$= \frac{9e(\sin 1 - \cos 1) + 9 + 2e(\sin 1 + \cos 1) - 2}{2}$$ $$= \frac{11e \sin 1 - 7e \cos 1 + 7}{2}$$

令 $f(x) = e^x (\sin x + \cos x)$，求导： $$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$$ 在 $[0,1]$ 上，$\cos x > 0$（因为 $1 < \pi/2$），所以 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增，最大值在 $x=1$ 处： $$f(1) = e(\sin 1 + \cos 1)$$

原不等式 $e^x (\sin x + \cos x) \leq \frac{11e \sin 1 - 7e \cos 1 + 7}{2}$ 对任意 $x \in [0,1]$ 成立，等价于左边最大值小于等于右边，即： $$e(\sin 1 + \cos 1) \leq \frac{11e \sin 1 - 7e \cos 1 + 7}{2}$$

两边乘以2： $$2e \sin 1 + 2e \cos 1 \leq 11e \sin 1 - 7e \cos 1 + 7$$ 移项： $$0 \leq 9e \sin 1 - 9e \cos 1 + 7$$ 即： $$9e(\sin 1 - \cos 1) + 7 \geq 0$$ 由于 $1 > \pi/4$，所以 $\sin 1 > \cos 1$，$\sin 1 - \cos 1 > 0$，因此左边为正数，不等式成立。