哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题

已知 $f_0(x)=e^{x^2}$，且 $f_{n+1}(x)=\int_0^x f_n(t)dt$。通过数学归纳法证明：对于 $n\ge 1$，有 $f_n(x)=\int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{t^2} dt$。 **基步**：$n=1$ 时，$f_1(x)=\int_0^x e^{t^2} dt$，公式成立。 **归纳假设**：设 $n=k$ 时成立，即 $f_k(x)=\int_0^x \frac{(x-t)^{k-1}}{(k-1)!} e^{t^2} dt$。 **归纳步骤**：则 $f_{k+1}(x)=\int_0^x f_k(t)dt = \int_0^x \left( \int_0^t \frac{(t-s)^{k-1}}{(k-1)!} e^{s^2} ds \right) dt$。交换积分次序：$\int_0^x e^{s^2} \left( \int_s^x \frac{(t-s)^{k-1}}{(k-1)!} dt \right) ds = \int_0^x e^{s^2} \frac{(x-s)^k}{k!} ds$，故 $n=k+1$ 成立。

由定义，$\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{t^2} dt$。由于级数一致收敛（后续证明），可交换求和与积分次序：$\phi(x)=\int_0^x e^{t^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} dt$。

注意到 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(x-t)^m}{m!} = e^{x-t}$。因此 $\phi(x)=\int_0^x e^{t^2} e^{x-t} dt = e^x \int_0^x e^{t^2 - t} dt$。

由于 $x\in[0,1]$，$t\in[0,x]$，有 $e^{t^2}\le e$，$\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\le \frac{1}{(n-1)!}$，故 $|f_n(x)|\le \int_0^x \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} e dt \le \frac{e}{n!}$。而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{e}{n!}$ 收敛，由Weierstrass判别法知 $\sum f_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。

每个 $f_n(x)$ 连续（由积分定义），且级数一致收敛，故和函数 $\phi(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。

因此，$\phi(x)=e^x \int_0^x e^{t^2-t} dt$，且 $\phi(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义且连续。