哈尔滨工业大学 2009年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分） 1 ．讨论函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．
2．求函数
$$
u=x-2 y+2 z
$$
在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：检查函数在(0,0)处的连续性
计算极限：
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta - \sin^3\theta)}{r^2} = \lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta - \sin^3\theta) = 0,
\]
且 $f(0,0)=0$，故函数在 $(0,0)$ 处连续。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = 0
提示：注意使用极坐标变换时，极限与 $\theta$ 无关，且 $r\to 0$ 时趋于0。
步骤 2/8
目标：计算偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$
由定义：
\[
f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^3/h^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h}{h} = 1,
\]
\[
f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{-k^3/k^2}{k} = \lim_{k\to 0} \frac{-k}{k} = -1.
\]
公式：f_x(0,0)=1, f_y(0,0)=-1
提示：偏导数定义中，注意分子是函数增量，分母是自变量增量。
步骤 3/8
目标：验证可微性条件
函数在 $(0,0)$ 处可微当且仅当
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0.
\]
代入得
\[
\frac{\frac{h^3 - k^3}{h^2+k^2} - h + k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{h^3 - k^3 - (h - k)(h^2+k^2)}{(h^2+k^2)^{3/2}} = \frac{k h^2 - h k^2}{(h^2+k^2)^{3/2}} = \frac{hk(h - k)}{(h^2+k^2)^{3/2}}.
\]
公式：\frac{hk(h - k)}{(h^2+k^2)^{3/2}}
提示：化简时注意分子展开后抵消项，得到简洁表达式。
步骤 4/8
目标：判断极限是否存在
取路径 $h=k$，则分子为0，极限为0。
取路径 $h=2k$，则
\[
\frac{2k \cdot k (2k - k)}{(4k^2+k^2)^{3/2}} = \frac{2k^3}{(5k^2)^{3/2}} = \frac{2k^3}{5^{3/2} |k|^3} = \pm \frac{2}{5^{3/2}} \neq 0,
\]
故极限不存在，函数在 $(0,0)$ 处不可微。
提示：选择不同路径得到不同极限值，说明极限不存在，从而不可微。
步骤 5/8
目标：建立拉格朗日函数
求函数 $u=x-2y+2z$ 在约束 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的极值。
构造拉格朗日函数：
\[
L(x,y,z,\lambda) = x - 2y + 2z - \lambda(x^2+y^2+z^2-1).
\]
公式：L = x - 2y + 2z - \lambda(x^2+y^2+z^2-1)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束条件。
步骤 6/8
目标：求偏导数并解方程组
求偏导并令为0：
\[
\begin{cases}
L_x = 1 - 2\lambda x = 0 \\
L_y = -2 - 2\lambda y = 0 \\
L_z = 2 - 2\lambda z = 0 \\
L_\lambda = -(x^2+y^2+z^2-1)=0
\end{cases}
\]
解得 $x = \frac{1}{2\lambda}$, $y = -\frac{1}{\lambda}$, $z = \frac{1}{\lambda}$。
公式：x = \frac{1}{2\lambda}, y = -\frac{1}{\lambda}, z = \frac{1}{\lambda}
提示：注意解方程时，$\lambda$ 不能为0，否则无解。
步骤 7/8
目标：代入约束条件求 $\lambda$
代入 $x^2+y^2+z^2=1$：
\[
\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = 1 \Rightarrow \frac{1}{4\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} = \frac{9}{4\lambda^2} = 1 \Rightarrow \lambda^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow \lambda = \pm \frac{3}{2}.
\]
公式：\lambda = \pm \frac{3}{2}
提示：注意 $\lambda$ 有两个可能值，分别对应极值点。
步骤 8/8
目标：计算极值并判断最大最小值
当 $\lambda = \frac{3}{2}$ 时，$x = \frac{1}{3}$, $y = -\frac{2}{3}$, $z = \frac{2}{3}$，$u = \frac{1}{3} - 2(-\frac{2}{3}) + 2(\frac{2}{3}) = 3$。
当 $\lambda = -\frac{3}{2}$ 时，$x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{2}{3}$, $z = -\frac{2}{3}$，$u = -\frac{1}{3} - 2(\frac{2}{3}) + 2(-\frac{2}{3}) = -3$。
由于球面是紧集，函数连续，故最大值和最小值存在。因此最大值为3，最小值为-3。
公式：u_{\max}=3, u_{\min}=-3
提示：紧集上连续函数必有最值，可直接比较候选点函数值。
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