哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）设 $\displaystyle a, x_{1}$ 为正实数．对 $\displaystyle n \geqslant 2$ ，定义数列
$$
x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right),
$$
证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在且不依赖于 $\displaystyle x_{1}$ 的选取．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义函数并应用均值不等式
设 $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right)$，其中 $x > 0$，$a > 0$。则 $x_n = f(x_{n-1})$。由算术-几何平均不等式，对任意 $x > 0$，有 $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right) \geq \sqrt{x \cdot \frac{a}{x}} = \sqrt{a}$。因此，当 $n \geq 2$ 时，$x_n \geq \sqrt{a}$，即数列从第二项开始有下界 $\sqrt{a}$。
公式：\frac{1}{2}\left(x + \frac{a}{x}\right) \geq \sqrt{a}
提示：注意均值不等式成立的条件是 $x>0$，$a>0$，且等号成立当且仅当 $x = \sqrt{a}$。
步骤 2/5
目标：证明数列单调递减
对于 $n \geq 2$，考虑相邻两项的差：$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right) - x_n = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{x_n} - x_n\right) = \frac{a - x_n^2}{2x_n}$。由于 $x_n \geq \sqrt{a}$，故 $x_n^2 \geq a$，从而 $a - x_n^2 \leq 0$，所以 $x_{n+1} - x_n \leq 0$，即数列从第二项开始单调递减。
公式：x_{n+1} - x_n = \frac{a - x_n^2}{2x_n}
提示：注意单调递减是从第二项开始的，第一项 $x_1$ 可能小于 $\sqrt{a}$，但 $x_2$ 之后都满足 $x_n \geq \sqrt{a}$。
步骤 3/5
目标：利用单调有界准则证明极限存在
数列 $\{x_n\}_{n \geq 2}$ 单调递减且有下界 $\sqrt{a}$，由单调有界准则，极限存在。设极限为 $L$，则 $L \geq \sqrt{a}$。
提示：单调有界准则是证明数列极限存在的常用方法，注意数列的单调性和有界性必须同时满足。
步骤 4/5
目标：对递推关系取极限求极限值
对递推关系 $x_n = \frac{1}{2}\left(x_{n-1} + \frac{a}{x_{n-1}}\right)$ 两边取极限，得 $L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{a}{L}\right)$。整理得 $2L = L + \frac{a}{L}$，即 $L = \frac{a}{L}$，所以 $L^2 = a$，解得 $L = \sqrt{a}$（负根舍去，因为 $L \geq \sqrt{a} > 0$）。
公式：L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{a}{L}\right)
提示：取极限时，要确保极限存在，且递推关系中的函数连续。这里 $f(x)$ 在 $x>0$ 时连续，所以可以取极限。
步骤 5/5
目标：说明极限与初始值无关
极限 $L = \sqrt{a}$ 只依赖于参数 $a$，与初始值 $x_1$ 的选取无关。因此，$\lim_{n \to \infty} x_n$ 存在且不依赖于 $x_1$。
提示：注意，虽然 $x_1$ 可以任意正实数，但数列从第二项开始都满足 $x_n \geq \sqrt{a}$，且最终收敛到 $\sqrt{a}$。
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