哈尔滨工业大学 2011年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）（1）判断
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}{4 \cdot 6 \cdots(2 n+2)}
$$
的玫散性．
（2）求
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots(2 n)}{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}\left(\frac{1}{2} x-3\right)^{n}
$$
的收玫域．
（3）判断
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \int_{n}^{n+1} \frac{\ln (x+7)}{x} \mathrm{~d} x
$$
的敛散性（绝对收敛，条件收敛或发散）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：化简第(1)小题的通项公式
分子为前n个奇数的乘积：$1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$。分母为：$4\cdot 6\cdots (2n+2) = 2^n (n+1)!$。因此通项为：
$$a_n = \frac{\frac{(2n)!}{2^n n!}}{2^n (n+1)!} = \frac{(2n)!}{2^{2n} n! (n+1)!}.$$
公式：$$a_n = \frac{(2n)!}{2^{2n} n! (n+1)!}$$
提示：注意分母从4开始，对应$2\times2$，$2\times3$，...，$2\times(n+1)$，共n项，乘积为$2^n (n+1)!$。
步骤 2/10
目标：用比值判别法判断第(1)小题
计算比值：
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{2^{2n+2} (n+1)! (n+2)!} \cdot \frac{2^{2n} n! (n+1)!}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)(n+2)} = \frac{2n+1}{2n+4}.$$
当$n\to\infty$时，比值趋于1，比值判别法失效。
公式：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+4}$$
提示：比值极限为1时，需改用更精细的判别法，如拉比判别法。
步骤 3/10
目标：用拉比判别法判断第(1)小题
将比值写为：
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac{3}{2n+4} = 1 - \frac{3/2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right).$$
拉比判别法：若$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o(1/n)$，则$\alpha>1$时收敛，$\alpha<1$时发散。这里$\alpha=3/2>1$，故级数收敛。
公式：$$\alpha = \frac{3}{2} > 1$$
提示：也可用比较法：由斯特林公式得$a_n \sim C n^{-3/2}$，与$\sum 1/n^{3/2}$比较知收敛。
步骤 4/10
目标：化简第(2)小题的通项并换元
分子：$2\cdot4\cdots(2n)=2^n n!$；分母：$1\cdot3\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}$。系数比为：
$$\frac{2^n n!}{\frac{(2n)!}{2^n n!}} = \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}.$$
令$t = \frac{x}{2} - 3$，则级数为$\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!} t^n$。
公式：$$b_n = \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}$$
提示：换元后先求关于t的收敛域，再转换回x。
步骤 5/10
目标：用比值法求第(2)小题的收敛半径
计算系数比：
$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{2n+2} ((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} = \frac{4(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{2(n+1)}{2n+1}.$$
当$n\to\infty$时，比值趋于1，故收敛半径$R=1$（关于t）。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = 1$$
提示：收敛半径公式$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_n}{b_{n+1}} \right|$。
步骤 6/10
目标：判断第(2)小题的端点收敛性
当$t=1$时，$b_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$（由斯特林公式），故$\sum b_n$发散（p=1/2的p级数）。当$t=-1$时，为交错级数，$b_n$递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。因此t的收敛域为$[-1,1)$。
公式：$$b_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$$
提示：斯特林公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n} (n/e)^n$。
步骤 7/10
目标：将第(2)小题的收敛域转换回x
由$t = \frac{x}{2} - 3$，$t \in [-1,1)$得：
$$-1 \le \frac{x}{2} - 3 < 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \le \frac{x}{2} < 4 \quad \Rightarrow \quad 4 \le x < 8.$$
公式：$$x \in [4, 8)$$
提示：注意左闭右开，对应t的收敛域。
步骤 8/10
目标：估计第(3)小题的积分大小
记$a_n = \int_n^{n+1} \frac{\ln(x+7)}{x} dx$。在区间$[n,n+1]$上，分母$x \sim n$，分子$\ln(x+7) \sim \ln n$，故$a_n \sim \frac{\ln n}{n}$。严格有不等式：
$$\frac{\ln(n+7)}{n+1} \le a_n \le \frac{\ln(n+7)}{n}.$$
公式：$$a_n \sim \frac{\ln n}{n}$$
提示：利用被积函数的单调性可得到上下界。
步骤 9/10
目标：判断第(3)小题的绝对收敛性
考察$\sum a_n$，由于$a_n \sim \frac{\ln n}{n}$，而$\sum \frac{\ln n}{n}$发散（积分判别法：$\int_2^\infty \frac{\ln x}{x} dx$发散），故原级数不是绝对收敛的。
公式：$$\sum \frac{\ln n}{n} \text{发散}$$
提示：比较判别法：$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$对足够大的n不成立，需用积分判别法。
步骤 10/10
目标：判断第(3)小题的条件收敛性
原级数为$\sum (-1)^n a_n$。由于$a_n$单调递减（积分区间右移，被积函数减小）且趋于0，由莱布尼茨判别法知该交错级数收敛。故原级数条件收敛。
公式：$$\sum (-1)^n a_n \text{收敛}$$
提示：需验证$a_n$递减：对$n$增大，积分区间整体变小，被积函数值也变小。
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